Средние и предельные значения производственной функции

Рассмотрим многофакторную производственную функцию (5)

y = f (x ) = f (x₁ , x₂ ,…,x_n ).

1. Средней производительностью i-го ресурса, или средним выпуском по i-му ресурсу, называется величина

A_i = f (x ) / x_i , i = 1, 2, … , n. (15)

2. Предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса, или предельным выпуском по i-му ресурсу, называется первая частная производная

M_i = f / x_i , i = 1, 2, … , n. (16)

в приращениях функции и аргумента частную производную можно приближенно представить в виде

M_{i i} f (x ) x_i , i = 1, 2, … , n.

3. Отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности

E_i = M_i / A_i = ( x_i / f (x )) ( f / x_i ) , , i = 1, 2, … , n. (17)

Называется эластичностью выпуска по i-му ресурсу (частной эластичночтью выпуска). В экономической теории для эластичности часто используется разностный аналог формулы (17):

E_i = ( f / f 100% ) / ( x_i / x_i 100% ).

Из этой формулы следует, что эластичность выпуска по i-му ресурсу равна относительному изменению объема выпуска при изменении затрат этого ресурса на один процент.

Сумма всех эластичностей

Е_х = Е₁ + Е₂ + … + Е_п

называется эластичностью производства.

Средние и маржинальные показатели, а также эластичность производственной функции являются одними из основных характеристик, используемых в экономике.

Пример 2.

Найдем средние и маржинальные значения, а также эластичности для двухфакторных мультипликативной и аддитивной функции.

Решение.

а) Для мультипликативной ПФ типа Кобба-Дугласа (10) имеем:

A₁ = f (x ) / x₁ = a₀ x₁^{a1 - 1} x₂^a2 , A₂ = f (x ) / x₂ = a₀ x₁^a1 x₂^{a2 - 1}

M₁ = f / x₁ = a₁ A₁ , M₂ = f / x₂ = a₂ A₂

E₁ = M₁ / A₁ =a₁ , E₂ M₂ / A₂ = a₂ .

Из полученных выражений с учетом соотношений (14) следует, что

M_i A_i , i = 1, 2 ,

б) Для аддитивной функции вида (9) имеем:

A₁ = f (x ) / x₁ = a₀ / x₁ + a₁ + a₂ x₂ / x₁ ,

A₂ = f (x ) / x₂ = a₀ / x₂ + a₂ + a₁ x₁ / x₂

M₁ = f / x₁ = a₁ , M₂ = f / x₂ = a₂

E₁ = M₁ / A₁ =a₁ / (a₀ / x₁ + a₁ + a₂ x₂ / x₁ ) ,

E₂ M₂ / A₂ = a₂ / ( a₀ / x₂ + a₂ + a₁ x₁ / x₂ ) _.

Величина

R_ij = -dx_j / dx_i ( i, j = 1, 2 ) (18)

Выражение для R_ij. Поскольку f (x ) = const, то df = 0, т.е. первый дифференциал равен нулю, откуда следует:

Поделив это уравнение на ( i, j = 1, 2 ) , получаем выражение для предельной нормы замены i-го ресурса j-м ресурсом:

( i j, i, j = 1, 2 ). (19)

Для двухфакторной производственной функции справедливо равенство

R_ij = ( E₁ x₂ ) / ( E₂ x₁ ) , (20)

Что непосредственно проверяется прямой подстановкой выражений для эластичности (17) в соотношение (19).