Экономический смысл производственной функции

Для производственной функции более корректной является развернутая запись

y = f (x , a ) , (6)

где х = ( х₁ , х₂ , …, х _n ) – вектор ресурсов (независимых пременных), а – вектор параметров ПФ.

Пример 1.

Рассмотрим производственную функцию вида y = ах^b. Здесь х – величина затрачиваемого ресурса, f (x) – объем выпускаемой продукции, а и b – параметры ПФ (положительные числа).

Производственная функция вида (4) и (5) называется статической, если сама функция и ее параметры не зависят от времени t. Производственная функция называется динамической, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1. время t входит в функцию f в качестве независимой переменной

(временной ресурс)

2) Параметры производственной функции зависят от времени t.

В частности, в динамической ПФ можно учесть научно-технический прогресс путем введения в функциональную зависимость (4) множителя e^pt, где параметр

р 0 характеризует темп прироста выпуска вследствие НТП:

y (t) = e^pt f ( x₁ (t), x₂ (t), …, x_n (t) ). (7)

Основные виды производственных функций

Два основных, наиболее употребимых вида производственной функции.

1) Линейная ПФ. Она имеет вид:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ , a_i 0 ( i = 0, 1, 2 ) (8)

• двухфакторная линейная производственная функция.

Многофакторная ПФ имеет вид:

y = a₀ + a₁x₁ + … + a_nx_n. (9)

Линейная производственная функция принадлежит к классу аддитивных функций.

2. Мультипликативная функция. Двухфакторная функция имеет вид:

y = a₀x₁^a1 x₂^a2. (10)

Переход от мультипликативной функции к аддитивной производится с помощью логарифмирования:

1ny = 1na₀ + a₁1nx₁ + a₂1nx₂. (11)

Обозначая 1ny = w, 1na₀ = b, 1nx₁ = u, 1nx₂ = v, получаем аддитивную ПФ

w = b + a₁u + a₂v. (12)

Функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Y = a₀ К^a1 L^a2. (13)

Функция Кобба-Дугласа широко используется в микро- и макроэкономических приложениях благодаря своей структурной простоте. Согласно статистической обработке экономических данных, проводившейся различными авторами, наблюдаются следующие закономерности:

₁ 1, ₂ 1, _{1 2},, _{1 + 2} 1. (14)

Формальные свойства производственных функций

Свойства производственной функции на примере двухфакторной функции f(x₁,,x₂).

1. f(0,x₂) = f(x₁,0) = 0.

Свойство 1 означает, что при отсутствии хотя бы одного ресурса нет выпуска продукции.

2. При х₁ х₁ f(х₁ ,x₂) f(х₁ , ,x₂) ;

аналогично: при х₂ х₂ f(x₁, ,x₂ ) f(x₁, ,x₂ ).

Свойство 2 означает, что с увеличением объема использования любого ресурса объем выпуска растет.

3. При х 0 f / x_i 0, i = 1, 2.

Это свойство является следствием свойства 2: первые частные производные производственной функции положительны – это означает, что с ростом потредления одного из ресурсов при неизменном объеме другого ресурса объем выпуска возрастает. Здесь и далее условная запись х 0 означает, что обе компоненты вектора х = (х₁ , х₂ ) строго положительны.

4. х 0 ² f / x²_i 0, i = 1, 2.

Свойство 4 (вторая производная производственной функции по любой координате неположительна) означает, что с ростом объема затрат одного из ресурсов при неизменном объеме использования другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не увеличивается (это свойство известно как закон убывающей эффективности).

5. При х 0 ² f / ( x_i x₂ ) 0.

Это свойство означает, что с ростом затрат одного из ресурсов предельная эффективность другого ресурса возрастает.

6. f ( tx₁ , tx₂ ) = t ^p f ( x₁ , x₂ ).

Свойство 6 означает, что производственная функция является однородной функцией степени р. Иными словами, при переходе от вектора затрат ресурсов х к вектору tх объем выпуска изменяется в t ^p раз. При р 1 имеем рост выпуска в t ^p раз с ростом масштаба производства в t раз; при р 1 имеем снижение выпуска в t ^p раз с ростом масштаба производства в t раз. При р = 1 имеем постоянную эффективность производства независимо от роста его масштаба.