Алгебра(матрицы)

в) (49,21)=7, но и 14 делится на 7. Поэтому сокращаем все уравнение на 7, получаем 7x + 3y = 2. Частное решение найти легко ( 1; 3). Общее

решение однродного ( 3k; 7k). В итоге выходит 1 3k; 3 + 7k.

6Остатки. Сравнение по модулю.

Определение 23. Говорят, что число a делится на число m с остатком r, если: 1) 9c : a = cm + r; 2) r = 0; 1; : : : jmj 1.

Число c называется неполным частным.

Определение 24. Говорят, что числа a и b сравнимы по модулю m, если у них одинаковые остатки при делении на m.

Обозначение a b (mod m).

Предложение 11 (Свойства ). 1. a a (mod m)

2.åñëè a b (mod m), òî b a (mod m)

3.a b (mod m), b c (mod m) тогда a c (mod m)

Из первых трех пунктов следует, что отношение эквивалентности на множестве целых чисел.

4.a b (mod m) тогда и только тогда, когда a b:m.

5.a b (mod m), c d (mod m) тогда a c b d (mod m).

6.a b (mod m), c d (mod m) тогда ac bd (mod m)

Из последних двух пунктов следует, что операции (сложение, вычитание и умножение) из множества целых чисел согласованы с отношением эквивалентности .

7.ak bk (mod m), (k; m) = 1, тогда a b (mod m).

8.ak bk (mod m), (k; m) = d, тогда a b (mod md ).

Из последних двух пунктов видно, что с делением как всегда все не слава богу.

Proof. Первые три очевидно по определению .

Четвертое. ")". Если остатки одинаковые, то (xm + r) (ym + r) очевидно, поделится на m.

"(" (a b):m. Пусть b = ym + r, a b = xm, тогда a = (x + y)m + r, поэтому остаток от деления a на m будет r. Т.е. остатки у a и b будут

одинаковые.

a b (mod m), c d (mod m) поэтому mj(a b) и mj(c d). Поэтому mj(a b) (c d) = (a c) (b d). Поэтому a c b d (mod m).

Докажем сначала, что если a b (mod m), то ax bx (mod m). Это понятно по п.4. Теперь умножим сравнение a b (mod m) на c, а сравнение c d (mod m) на b, затем по транзитивности.

Седьмое и восьмое доказываются переписыванием через четвертое.

31

Задача. Вычислить остаток от деления числа 132013 íà 7.

Решение. 13 1 (mod 7), поэтому 13201 ( 1)2013 (mod 7). Получаем, что 132013 1 6 (mod 7).

6.1Признаки делимости

Доказать признаки делимости на 2, 5, 10, 4, 25, 100, 3, 9, 11. Сформулировать признаки делимости на 7, 13.

Теорема 18. Разделим число на 3-циферные блоки, начиная с конца. Такие блоки называются "грани".

У числа N такой же остаток от деления на 7 (на 13), как и у знакопеременной суммы граней по 3 цифры.

Пример. 123456789012345678901234567890 890 567+234 901+678 345 + 12 789 + 456 123 455

455 0 (mod 7)455 0 (mod 1)3

32

7Алгебраические системы

7.1Определение

Определение 25. В множестве G задана бинарная операция : G G ! G со свойствами.

1.8a; b; c (ab)c = a(bc) (ассоциативность)

2.9e8a ea = ae = a (существование нейтрального элемента)

3.8a9a : aa = aa = e. (существование обратного)

Тогда множество G называется группой.

Предложение 12. 1. Нейтральный элемент единственный. 2. Обратный элемент единственный.

Примеры. Целые числа с операцией сложения да. Целые числа с операцией умножения нет. Дейсвительные числа с операцией сложения да.

Положительные действительные числа с операцией умножения да. Положительные действительные числа с операцией возведения в степень

íåò.

Ненулевые действительные числа с операцией умножения да. Матрицы с операцией сложения да.

Матрицы с операцией умножения нет. Обратимые матрицы с операцией умножения да.

Взаимнооднозначные функции "на" с операцией "композиция" да.

Определение 26. Пусть < Gj > группа со свойством ab = ba (коммутативность). Тогда группа G называется абелевой группой.

В вышеприведенных примерах найдите абелевы и неабелевы группы.

Определение 27. В множестве F заданы две бинарные операции + : G G ! G : G G ! G, такие, что

1. < F j+ > абелева группа (нейтральный элемент этой группы

обозначим 0). 2. < F

f0gj > абелева группа (нейтральный элемент обозначим 1). 3. x(y + z) = xy + xz (дистрибутивность)

Предложение 13 (Свойства полей). 1. 0x=0.

2.Пусть (-1) обратный к 1 элемент по сложению. Тогда (-1)x

обратный элемент к х по сложению. Поэтому обратный элемент обозначатеся (-x).

4.xy = 0 , x = 0V y = 0

Proof. 1. yx=(y+0)x=yx+0x. Добавим с двух сторон обратный элемент по сложению к элементу yx. Получаем: 0=0+0x=0x.

2. 0=0x=(1+(-1))x=1x+(-1)x=x+(-1)x. Поэтому (-1)x обратных к х элемент по сложению.

33

3. В обратную сторону по 1. Туда. Пусть xy = 0 и x 6= 0. Тогда у x есть элемент обратный по умножению x 1. Умножим равенство на него. x 1xy = x 10 = 0, íî x 1xy = 1y = y.

Примеры полей. Множество действительных чисел да. Множество комплексных чисел да.

Множество рациональных чисел да. Множество целых чисел нет.

Множество матриц нет. Множество обратимых матриц тоже нет.

Определение 28. Пусть на множестве R заданы две бинарные операции

+и со свойствами:

1.< Rj+ > абелева группа.

2.x(y + z) = xy + xz и (y + z)x = yx + zx (левая и правая дистрибутивность).

Если умножение ассоциативно, кольцо называется ассоциативным. Если умножение коммутативно, кольцо называется коммутативным. Если есть нейтральный элемент по умножению кольцо называется кольцом с единицей.

Примеры. Множество целых чисел коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Множество матриц Mn(R) ассоциативное кольцо с единицей.

7.2Множества вычетов по модулю m

На множестве чисел 0; 1; : : : (m 1) введем операции сложения и умножения, согласованные со сложением и умножением по модулю m. Такое множество

назовем множеством вычетов по модулю m. Обозначение: Zm.

Для примера давайте составим таблицу сложения и умножения для множества вычетов по модулю 6.

Очевидно, множество вычетов является кольцом. Но является ли оно полем?

Предположим, m составное число.

Тогда, очевидно, Zm не поле. m = ab, где a и b меньше m, поэтому ab 0 (mod m), хоть a 6= 0 (mod m) и b 6= 0 (mod m).

Докажем, что у любого числа a 2 f1; 2; : : : p 1g есть обратный по умножению в множестве вычетов по модулю p, p 2 P.

Составим таблицу (в уме!) умножения в множестве вычетов по модулю p. Нулевой остаток брать не будем. Докажем, что все числа в каждой строчке ненулевые. Докажем, что все числа в каждой строчке различны. Поэтому в каждой строчке перечислены все ненулевые остатки от деления на p.

Таким образом, мы доказали теорему.

Теорема 19 (О полях вычетов). Кольцо вычетов Zm является полем тогда и только тогда, когда m простое число.

34

7.3Малая теорема Ферма

Напишем таблицу умножения ненулевых вычетов по модулю p (p 2 P).

В каждой строке таблицы числа ненулевые и неповторяющиеся. Т.е. в каждой строке таблицы стоят все вычеты от 1 до p 1.

Перемножим все числа в строчке. С одной стороны, получим (a 1)(a 2) : : : (a p 1) = ap 1(p 1)!. С другой стороны, получим (p 1)!. Число (p 1)! взаимнопросто с p. Поэтому сравнение ap 1(p 1)! (p 1)! (mod p) можно разделить на (p 1)!. Получаем, что для всех a, взаимнопростых с p, ap 1 a (mod p).

Теорема 20 (Малая теорема Ферма). Åñëè p 2 P è (a; p) = 1, òî ap 1 1

делится на p.

Другая формулировка. Если p простое число, то ap a делится на p для любого a.

Пример. Найти остаток от деления на 13 числа 20132013.

2013 2 (mod 13), поэтому 20132013 22013.

( 2)12 1 (mod 13), поэтому ( 2)2004 (( 2)12)167 1 (mod 13). Поэтому ( 2)2013 ( 2)2004( 2)9 119 (mod 13).

29 512 8 (mod 13)

7.4Функция Эйлера. Теорема Эйлера.

Определение 29. Функция, сопоставляющая натуральному числу n количество чисел, меньших числа n, взаимнопростых с n, называется функцией Эйлера. Обозначение (n).

Лемма 5. p 2 P, тогда (pn) = (p 1)pn 1.

Лемма 6. Åñëè (n; m) = 1, òî (nm) = (n) (m)

Proof. Составим множество чисел xn + ym, где x пробегает Zm; y пробегает Zn. Все эти числа имеют разные остатки от деления на nm.

Докажем, что xn + ym взаимнопросто с nm тогда и только тогда, когда x взаимнопросто с m, а y взаимнопросто с n.

(xn + ym; nm) = 1 тогда и только тогда, когда (xn + ym; n) = 1 и (xn + ym; m) = 1 (т.е. у суммы не должно быть общих делителей ни с n, ни с m) (xn + ym; m) = (xn; m) = (x; m), т.к. (n; m) = 1. Аналогично и второе.

Теорема 21 (Теорема Эйлера). Åñëè (a; m) = 1, òî a (m) 1 (mod m).

Proof. Составим таблицу умножения вычетов по модулю m. Заметим, что если (a; m) = 1 и (b; m) = 1, то (ab; m) = 1. Поэтому в каждой строчке невычеркнутые числа взаимнопростые с m.

Теперь докажем, что они все разные.

Поэтому в каждой строчке невычеркнутыми остались все числа, меньшие m и взаимнопростые с ним.

Дальше аналогично МТФ: перемножаем числа в каждой строке. Получаем, что хотели.

35

7.5Китайская теорема об остатках.

Теорема 22. Пусть числа m1; m2; : : : mn таковы, что (mi; mj) = 1 при i 6= j. Тогда система сравнений

m1m2 : : : mn.

Proof. Сначала докажем единственность. Предположим, что x1 è x2 äâà целых числа, подходящих в систему сравнений. Тогда x1 x2 делится и íà m1, è íà m2, è ò.ä., è íà mn. Поскольку числа m взаимно простые попарно, т.е. у них нет общих делителей, то x1 x2 должно делиться на произведение чисел m1m2 : : : mm. Ò.å. x1 x2 0 (mod m1m2 : : : mn) èëè x1 x2 (mod m1m2 : : : mn).

a1 + k(a2 a1)m1 + sm1m2. Т.е. решение существует. По выщедоказанному, решение единственное по модулю m1m2. Таким образом, система сравнений

x a1 (mod m1) x a2 (mod m2)

равносильна одному сравнению x b (mod m1m2).

Индукционное предположение. Пусть мы уже доказали, что система из k уравнений с взаимнопростыми (попарно) модулями может быть сведена

к равносильному одному уравнению. Т.е.

:

36

Индукционный переход. Очевидно, что система

>

>

>

:

равносильна пересечению решений системы из k уравнений и отдельно

последнего уравнения. Воспользуемся предположением индукции, и заменим первые k уравнений на одно. Получились 2 сравнения, причем модули взаимно простые. А два сравнения мы научились решать в Базе индукции.

37

8Многочлены

8.1Многочлены. Определение. Операции

Определение 30. Пусть K некоторое коммутативное ассоциативное

кольцо (в частности, может быть полем). Формальное выражение вида P (x) = anxn + an 1xn 1 + : : : + a1x + a0 называется многочленом.

Степенью многочлена P (x) называется такое наибольшее число k, что ak 6= 0. Обозначение degP (x).

Примеры: в качестве K можно взять Q, R, C, Z, Zn.

В частности, степень константы полагается равной нулю. Степень нулевого многочлена иногда считают равной 1.

Операции с многочленами:

а) сложение: складываются коэффициенты при соответствующих

степенях и

б) умножение: axk bxm = (ab)xk+m + соотношение дистрибутивности. Множество всех многочленов над кольцом K c введенными выше

операциями обозначим K[x].

Предложение 14. K[x] коммутативное ассоциативное кольцо.

Дальше будем рассматривать многочлены над полями, кроме специально оговоренных случаев, когда будет явно сказано, что речь идет о произвольном кольце, кольце вычетов или кольце целых чисел.

Многочлены будем обозначать латинскими буквами ( p; q; r; s...), скаляры (т.е. числа из поля) греческими ( ; ;...)

Предложение 15. При умножении многочленов их степени складываются.

Со сложением, вычитанием и умножением многочленов проблем нет. А вот с делением есть.

Определение 31. Говорят, что многочлен P (x) делится на многочлен Q(x), если существует такой многочлен C(x), что P (x) = C(x)Q(x).

Определение 32. Говорят, что многочлен P (x) делится на многочлен Q(x) с остатком R(x), если

а) существует такой многочлен C(x), что P (x) = C(x)Q(x) + C(x)

á) degR(x) < degQ(x).

Пример: деление многочленов друг на друга в столбик. Поиск остатка.

Предложение 16 (свойства делимости многочленов) . 1. 8p(x) p(x)jp(x); p(x)j0, 8 6= 0 jp(x).

2.pjq, qjs тогда pjs.

3.jq, pjs, тогда pj(q s).

38

4.pjq 6= 0 тогда degp(x) degq(x).

5.Åñëè pjq, òî pj q.

6.Åñëè pjq, òî 8 6= 0 pjq.

8.2НОД. Алгоритм Евклида

Определение 33. Наибольшим общим делителем (НОДом) многочленов P (x) и Q(x) называется их общий делитель наибольшей степени.

Предложение 17. Åñëè d(x) = (p(x); q(x), òî d(x) òîæå ÍÎÄ p(x) è q(x).

Определение 34. Многочлены p(x) и q(x) называются взаимнопростыми, если deg(p(x); q(x)) = 0.

Действительно, степени многочленов d(x) и d(x) одинаковые, причем

t(x) = c(x)d(x), òî t(x) = ( 1 c(x))( d(x)). Т.е. если d(x) является общим делителем p и q, то d(x) также является их общим делителем.

Ввиду замечания, в качестве НОД обычно берут приведенный многочлен (т.е. тот, старший коэффициент которого равен 1). Но это не обязательно.

Предложение 18 (свойства НОД). 1. (p(x); q(x)) = (p(x); q(x)) ïðè

6= 0.

2.(p(x); q(x)) = (p(x) s(x)q(x); q(x)).

3.(p(x); 0) = p(x).

Алгоритм Евклида. 1) (p(x); 0) = p(x) 2) Åñëè degp(x) defq(x),

(p(x); q(x)) = (r(x); q(x)), где r(x) остаток от деления p(x) на q(x).

Доказать, что Алгоритм Евклида выдает правильный ответ. То, что на каждом шаге НОД не изменяется по свойствам НОД; то, что алгоритм заканчивает работу потому что суммарная степень падает.

Теорема 23 (о разложении НОД). Пусть d(x) = (p(x); q(x)). Существуют многочлены k(x) и l(x) такие, что d(x) = k(x)p(x)+l(x)q(x).

Доказательство аналогично соответствующему доказательству про целые числа.

8.3Неприводимые многочлены. Теорема о разложении на неприводимые

Определение 35. Многочлен p(x) называется приводимым, если

раскладывается в произведение двух многочленов меньших степеней. Остальные называются неприводимыми.

Константы (многочлены нулевой степени) неприводимыми не считаются. Но и приводимыми тоже не считаются.

39

Предложение 19. Все многочлены первой степени неприводимые.

Неприводимые многочлены аналоги простых чисел.

Не путать слова приводимый (т.е. разложимый) и приведенный (т.е. со старшим коэффициентом 1).

Лемма 7. Любой многочлен является произведением неприводимых многочленов.

Доказательство аналогично соответствующему доказательству про целые числа.

Предложение 20. Пусть q(x) неприводимый многочлен. Если p(x) делится на q(x), то (p(x); q(x)) = q(x). Если p(x) не делится на q(x), то

(p(x); q(x)) = 1.

Доказательство аналогично соответствующему доказательству про целые числа.

Лемма 8. 1. Пусть q(x) неприводимый многочлен и q(x)ja(x)b(x). Тогда q(x)ja(x) или q(x)jb(x).

2. Пусть q(x) неприводимый многочлен и q(x)ja1(x)a2(x) : : : an(x). Тогда 9i : q(x)jai(x).

Доказательство аналогично соответствующему доказательству про целые числа.

Теорема 24 (Теорема о разложении на неприводимые) . Любой многочлен раскладывается в произведедение неприводимых. Причем, разложение единственное с точностью до перестановки сомножителей и умножения сомножителей на скаляры.

Доказательство аналогично соответствующему доказательству про целые числа.

8.4Производная. Выделение кратных сомножителей

Определение 36. Производной многочлена p(x) называется многочлен p0(x), полученная по следующим правилам:

1.(f + g)0 = f0 + g0

2.(fg)0 = f0g + g0f

3.0 = 0

4.x0 = 1

Предложение 21. (xn)0 = nxn 1

Доказательство по индукции.

Предложение 22. (pk(x))0 = kpk 1(x)p0(x):

40