Алгебра(матрицы)

Определение 16. Системы (S1) è (S2) равносильны, если множества их решений совпадают.

Определение 17. Система (S1) называется следствием системы (S2), если любое решение системы (S2) является решением системы (S1).

Предложение 7. (S2) ) (S1), åñëè (S1) (S2).

Предложение 8. Системы (S1) è (S2) равносильны, если (S2) ) (S1) è (S1) ) (S2)

уравнение, то система перейдет в равносильную.

2.Если в системе уравнения поменять местами, система перейдет в равносильную.

3.Если в системе уравнение умножить на ненулевое число, система перейдет в равносильную.

4.Если к одному уравнению системы прибавить другое, умноженное на число, система перейдет в равносильную.

Доказательство: доказываем, что если какое-то решение подходило в старую систему, оно будет подходить и в новую (после преобразования). Доказываем, что обратное преобразование уже в списке доказанных.

Заметим, что данные преобразования похожи на преобразования для поиска определителя. Поэтому для решения системы линейных уравнений будем пользоваться методом Гаусса:

1.Åñëè какая-то переменная не входит в систему, то она может принимать любое значение.

2.Ищем первую по номеру переменную, которая входит в систему линейных уравнений.

3.Меняем местами уравнения так, чтобы уравнение, содержащее эту переменную, было первым.

4.При помощи элементарных преобразований исключаем эту переменную из всех остальных уравнений.

5.Первое уравнение системы теперь оставлено для этой переменной.

6.Переходим к меньшей системе с меньшим количеством уравнений.

7.Если в системе получается нулевое уравнение его можно вычеркнуть.

21

9.В самом конце осталось несколько уравнений, которые мы оставляли для наших переменных, и еще (возможно) несколько переменных, для которых не хватило уравнений.

10.Выражаем переменные.

пример.

>

>

>

:

Переменные, которым не хватило уравнения, называются свободными. Свободные переменные могут быть равны любому числу. Остальные переменные называются зависимыми. Зависимые переменные вычисляются в зависимости от независимых. Некоторые зависимые переменные могут быть сразу равны какому-то числу.

Заметим, что у системы может быть одно решение; может не быть решений вовсе; а может быть и бесконечно много решений.

Теорема 14 (Правило Крамера). Пусть в системе (S) количество уравнений равно количеству переменных, а det(A) 6= 0. Тогда система

имеет единственное решение, которое можно найти по формулам: xi =

i i определитель матрицы, полученной из А заменой i-ого det(A) . Здесь

столбика на столбец свободных членов.

Доказательство: если у матрицы А ненулевой определитель, она

обратима. Выпишем обратную по явной формуле обратной матрицы. Из уравнения Ax = b получим x = A 1b. Подставим значение для обратной

матрицы, получим требуемое.

Предложение 9. Однородная система уравнений всегда совместна. Если уравнений меньше, чем неизвестных, то у системы есть

ненулевое решение.

Воспользуемся методом Гаусса. За чертой всегда будут только нули, поэтому не может получиться "особая" строчка, т.е. система не может остаться несовместной. Если уравнений меньше, чем неизвестных, то всегда будут независимые переменные, которые можно положить равными чему угодно (в том числе, можно взять ненулевыми).

4.2Определитель Вандермонда

Пример. Приведите пример многочлена, который удовлетворяет условиям: f(1) = 2; f(2) = 4; f(3) = 8; f(4) = 16.

22

Мы уже знаем, что если переменных больше, чем уравнений, у системы

не может быть единственного решения. Значит, будем искать многочлен в виде f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.

Получаем систему

Получаем ответ:

У нас такие удачные числа совпали? Или по любым n+1 точкам можно построить многочлен (не более, чем) n-ой степени?

Поставленная задача называется задачей интерполяции . По данным n + 1 точкам построить многочлен n-ой степени.

f(x0) = y0; f(x1) = y1 : : : f(xn) = yn

Подробнее мы остановимся на задаче интерполяции при изучении многочленов. А сейчас нас интересует, будет ли единственным решение системы линейных уравнений вида: Получаем систему

А для этого рассмотрим определитель (надо определить, равен он нулю или не равен).

Этот определитель называется определитель Вандермонда . Чаще всего его записывают вот в такой классической форме:

xn1 xn2 n: : : xn

из каждой строчки отнимаем предыдушую с коэффициентом x1. Получаем:

23

Раскладываем по первому столбцу, все слагаемые зануляются, кроме первого.

А полученный определитель такого же вида, как был. Окончательно получаем:

x1 x2 : : : xn

xn1 xn2 : : : xnn

Мы не только вычислили определитель Вандермонда, но и доказали, что если все заданные точки различны (т.е. xi 6= xj), то определитель не равен нулю, а следовательно задача интерполяции имеет ровно одно решение.

24

5Целые числа

5.1Определение, основные свойства, алгоритм Евклида

Мама сварила 10 литров компота. Сколько банок потребуется маме, если в каждую банку влазит 3 литра компота?

Веселая компания решила перебраться из клуба "Малина" в клуб "Клубника". Сколько надо заказать такси, если в одно такси влезает 4 пассажира, а в компании 10 человек?

Один рабочий может вырыть за месяц 3 канавы. Сколько надо нанять рабочих, если нам за месяц надо вырыть 31 канаву?

При решении некоторых задач нам требуется ответ в целых числах.

В этой главе если не оговорено обратное, будем писать "число", подразумевая "целое число".

Определение 18. Говорят, что целое число a делится на целое число b, если существует такое целое число c, что a = bc. Число c в таком случае

называется частным.

Синонимы: a кратно b, b делитель числа a. Обозначение: a: b или bja.

Предложение 10 (Элементарные свойства делимости) . 1. 8a; aja.

2.8a; aj1.

3.8a; 0ja.

4.ajb; bjc ) ajc.

5.ajb ) 8c; ajbc

6.ajb; ajc ) aj(b c)

7.ajb; b 6= 0 ) jbj jaj.

Доказательство элементарно.

Определение 19. Говорят, что число a делится на число b с остатком r, если: 1) 9c : a = bc + r; 2) r = 0; 1; : : : jbj 1.

Число c называется неполным частным.

Деление с остатком на 0 не определено.

Доказать, что остаток определен однозначно. От противного.

Число a делится на число b с остатком 0 то же самое, что число a делится на число b.

25

5.2ÍÎÄ

Определение 20. Общим делителем чисел a1; a2; : : : an называется число, которое делит все эти числа.

Наибольшим общим делителем чисел a1; a2; : : : an наибольший из всех общих делителей этих чисел.

Общим кратным чисел a1; a2; : : : an называется число, которое кратно всем этим числам.

Наименьшее общее кратное это наименьшее из натуральных общих кратных.

Обозначение: НОД(a1; 2; : : : ; an) = (a1; : : : ; an). ÍÎÊ(a1; : : : ; an) = [a1; : : : ; an].

НОД(0,0) не определен. НОК(0,a) не определен.

Достаточно научиться искать НОД двух чисел, ведь (a; b; c) = ((a; b); c). Аналогично [a; b; c] = [[a; b]; c].

Свойства:

1.(a; b) = (a; b a)

2.8n 2 Z; (a; b) = (a; b na)

3.(a; 0) = a

4.(a; b) = (jaj; jbj)

Доказательство легко.

Алгоритм Евклида: На входе пара чисел (a; b).

1.(a; b) ! (jaj; jbj)

2.Если a < b, то (a; b) ! (b a; a); иначе (a; b) ! (a b; b). (Т.е. оставляем

меньшее и разность.) Повторяем шаг 2, пока не получим пару (a; 0).

3. Когда получаем пару (a; 0). Тогда алгоритм возвращает число a.

На каждом шаге нод пары не меняется. На последнем шаге тоже все понятно. Осталось доказать, что рано или поздно алгоритм придет к последнему шагу. Пусть после первого шага S = a + b. На шаге 2 S

уменьшается кроме того случая, когда отнимаем 0. Т.е. для всех пар, кроме (a; 0) S уменьшается минимум на единицу. Изначально S натуральное

число, а потому не может уменьшаться бесконечное число шагов. Таким образом, алгоритм Евклида дает НОД для всех пар чисел.

Пример. (94689,7515) =(87174, 7515)=...=(12024,7515)=(4509, 7515)=(4509, 3006)=(3006,1503)=(1503,1503)=(1503,0)=1503.

Улучшение алгоритма Евклида Шаг 2'. Вместо перехода (пусть a > b) (a; b) ! (a b; b) используем переход (a; b) ! (r; b), где r остаток

от деления a на b.

26

Теорема 15 (о разложении НОД). Пусть a; b два натуральных числа, d = (a; b). Существуют такие k; l 2 Z, что d = ka + lb.

Если a; b не единицы, то существует пара k0; l0 такая, что k0 = 0; 1; : : : b 1, l0 = 0; 1; : : : a 1 è d = k0a l0b.

Proof. Докажем для начала, что на каждом шаге алгоритма Евклида получаются числа вида xa + yb. А тогда ясно, что и НОД такого же вида.

Теперь уже d = ka + lb = k1a l1b (поставили для удобства). Но ведь тогда d = (k b)a (l a)b. Или наоборот d = (k + b)a (l + a)b.

Пусть у нас k > 0. Если k > b мы можем от k отнять b. Получим k2 = k1 b > 0, l2 = l1 a.

Заметим, что если ki > 0, òî li тоже обязано быть > 0. Иначе, правая часть больше a и точно больше d.

Так действуем до тех пор, пока k > b. В итоге получаем d = kna lnb. Здесь либо kn îò 1 äî b 1, ëèáî kn = b.

Åñëè 0 kn < b, òî lnb = kna d < ba d < ba поэтому ln < a, à òî, ÷òî ln > 0 мы доказали раньше. Т.е. ln в нужных пределах.

Если же получилось d = ba lnb, то заметим, что правая часть делится на b, значит d: b. Поэтому d = b. Поэтому a = tb. Тогда b = a (t 1)b.

Заметим, что точно так же, как d = k0a l0b, можно подобрать и d = l00 b k00 a (если в доказательстве поменять a и b местами.

Пример. Выразить (94689,7515) через 94689 и 7515. (94689=a,7515=b) =(87174=a-b, 7515=b)=...=(12024=(a-b)-10b,7515=b)

=(4509=(a-12b), 7515=b)=(4509=a-12b, 3006=b-(a-12b)=13b-a) =(3006=13b-a,1503=(a-12b)-(13b-a)=2a-25b)=(1503,1503)=(1503,0)=1503 = 2*94689-25*7515.

5.3Простые числа. Основная теорема арифметики

Определение 21. Натуральное число p называется простым, если у него ровно 2 натуральных делителя p и 1. Остальные числа, кроме 1,

называются составными.

Можно сказать иначе: число a называется составным, если существуют такие числа b; c < a, что a = bc.

Лемма 2. Любое натуральное число >1 есть произведение простых. (Возможно, в произведении только один сомножитель).

Proof. Доказательство по индукции. База: 2, 3, 4 раскладывается. Предположение: предположим, уже доказано, что все числа, меньшие

N, раскладываются в произведение простых.

Шаг: Рассмотрим число N. Либо оно простое (и тогда все доказано). Либо оно составное, и тогда N=ab, где a < N и b < N. По предположению

индукции, a и b раскладываются. Ну, а тогда и N раскладывается в произведение.

Теорема 16. Простых чисел бесконечно много.

27

Proof. Пусть простых чисел конечное количество. Тогда их можно все выписать.

p1; p2; : : : ; pn

Составим число M = p1p2 : : : pn + 1. Очевидно, оно больше, чем все pi, поэтому не может быть простым. Тогда оно раскладывается в произведение простых. Поэтому делится на какое-то pi. Íî âåäü (M; pi) = 1, а потому M не может делиться ни на одно из pi. Противоречие.

Решето эратосфена. Алгоритм поиска простых чисел.

Выписываем все числа от 1 до N. Единица не простое и не составное, ее оставляем в покое. Переходим к двойке. Двойка простое число (она не может разложиться в произведение двух чисел меньшее ее). Двойку запоминаем. А теперь вычеркиваем из последовательности каждое второе число. Заметим, что нам для этого не надо проверять делимость чисел на 2. Надо просто прибавлять 2 к только что обработанному числу. 2+2=4, 4+2=6, 6+2=8 и т.д. Таким образом, мы вычеркнули из последовательности все числа, которые делятся на 2.

Переходим к следующему после последнего числа, которое мы запомнили. Это 3. Оно не вычеркнуто, поэтому оно простое (не делится ни на что, меньше его). Вычеркиваем каждое третье.

Переходим к следующему. Это 4. Оно зачеркнуто. Переходим к следующему. Это 5. Оно не зачеркнуто, а потому простое. Вычеркиваем каждое пятое и т.д.

Лемма 3. 1. Пусть p 2 P. Если pjab, то pja или pjb. 2. Если pja1a2 : : : an, òî pjai.

Proof. Пусть a не делится на p. Тогда (a; p) = 1, поэтому ak + lp = 1, тогда abk + lbp = b. Первое слагаемое делится на p потому что pjab, второе слагаемое тоже делится на p. Поэтому pjb. чтд.

Второй пункт доказывается индукцией по n. База индукции для n = 2 доказана в первом пункте. Индукционный переход выполняется

разложением произведения n чисел a1 : : : an в произведение двух чисел

(a1 : : : an 1)an.

Теорема 17 (Основная теорема арифметики) . Любое натуральное число, большее 1, раскладывается в произведение простых, причем это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей.

Произведение может содержать 1 сомножитель.

Proof. То, что любое число раскладывается по лемме.

Теперь осталось доказать единственность. Предполжим, есть какието натуральные числа, которые раскладываются в произведение простых несколькими способами. В любом множестве натуральных чисел есть наименьшее.

Пусть A наименьшее из чисел, которые раскладывается в произведение простых двумя способами. То есть

28

A = p1 1 p2 2 : : : pnn = q11 : : : qmm ,

причем в левом произведении и в правом произведении числа не повторяются (иначе их можно было бы сократить и число стало бы меньше). (Т.е. pi 6= qj).

Заметим, что левая часть делится на p1. Поэтому и правая часть делится на p1. Следовательно по лемме 3 p1jqj, но тогда p1 = qj èëè p1 = 1, но ведь обе эти альтернативы невозможны. Первая конфликтует с тем, что A минимальное, второе с тем, что p1 простое. Пришли к противоречию.

5.4Линейное диофантово уравнение с двумя переменными

Диофантовым уравнением называется уравнение, которое надо решать в целых числах.

Самое простое линейные уравнения.

Линейное уравнение с одним неизвестным ax = b рассматривать неинтересно. Если ajb, то решение существует, иначе не существует.

Рассмотрим линейное диофантово уравнение с двумя переменными. ax + by = c.

Определение 22. Пара целых чисел (x; y) называется решением диофантова уравнения ax + by = c, если при подстановке этих числе в

уравнение, оно обращаетсяв в верное равенство.

Одно какое-то решение еще можно называть частным решением. Общее решение диофантова уравнения это множество всех решений

этого уравнения. Возможно, это множество пустое. Решить диофантово уравнение найти его общее решение.

Задача. В одной стране есть монеты 3 пиастра и монеты 5 пиастров. а) Докажите, что люди в этой стране могут рассчитаться за любую

покупку. (На кассе умеют давать сдачу).

б) Докажите, что люди в этой стране могут без сдачи оплатить любую покупку от 8 пиастров.

Решение пункта а) 1 рубль мы заплатить можем: 3+3-5. А дальше любая сумма это несколько рублей.

б) на самостоятельное осмысление.

Продолжение задачи. В соседней стране есть монеты 6 тугриков и 9 тугриков. Любую ли целую сумму тугриков могут заплатить жители этой страны?

Решение: как бы они ни изголялись, сумма будет делиться на 3. Что мы вынесли из этой задачи?

Предположим, что НОД(a,b)=1. Тогда cуществуют целые числа k и l, такие что ka + lb = 1. Умножим это равенство на с, получим (kc)a + (lc)b = c. Вот мы и нашли одно из возможных решений. (Мы нашли некоторое

частное решение).

Предположим теперь, что НОД(a,b)= d 6= 1. В этом случае левая часть уравнения ax + by при любых x и y делится на d, а потому если не делится

29

на d решений нет; а если c делится на d можно все уравнение сократить на d и попадаем в случай (a; b) = 1.

Теперь возникает вопрос, сколько всего решений? Есть ли другие решения?

Нас по-прежнему интересует только случай (a; b) = 1, потому что

остальные случаи мы свели к этому.

Давайте рассмотрим какой-то "легкий" случай. Например, ax + by = 0. Перенесем, получим: ax = by. Поскольку (a; b) = 1, все простые делители из a должны быть делителями y. Поэтому ajy, т.е. y = ka, но тогда ax =bka и x = bk. Т.е. для такого уравнения ax + by = 0 мы легко находим общее решение ( kb; ka); k 2 Z.

Уравнение ax + by = 0 называются однородными.

Лемма 4. Пусть (a; b) = 1. Общее решение неоднородного диофантова уравнения ax + by = c это суммма одного (любого) частного решения

этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения ax + by = 0.

Proof. Пусть (X; Y ) произвольное частное решение уравнения ax + by = c.

У нас есть 2 множества: V=общее решение диафантова уравнения ax + by = c и V0 + (X; Y ) = сумма частного решения и общего решения однородного.

Рассмотрим произвольное решение (x0; y0) однородного уравнения ax + by = 0. Если мы прибавим к нему частное решение (X; Y ), получим (X + x0; Y + y0), нетрудно проверить, что ax + by = c. Поэтому V0 + (X; Y ) V .

Теперь наоборот. Рассмотрим кроме (X; Y ) еще одно решение (X1; Y1) 2 V . Заметим, что их разница решение однородного. Таким образом V

V0 + (X; Y ).

Доказали, что множества совпадают.

Как искать частное решение уравнения, мы поняли. Как искать общее решение однородного, мы поняли. Чтобы найти общее решение неоднородного, надо их просто сложить.

Пример. Решить уравнение. а) 49x + 21y = 15

á) 49x + 15y = 21 â) 49x + 21y = 14

Решение: а) решений нет. Потому что левая часть делится на 7, а правая нет.

б) (49,15)=1. Надо найти частное решение. (49 = a; 15 = b) = (4 = a 3b; 15 = b) = (3 = b 3(a 3b); 4 = a 3b) = (1 = (a 3b) (10b 3a); 3) = 1 = 4a 13b) Т.е. 1 = 49 4 15 13. Отсюда получаем 21 = 49 (4 21) + 15 ( 13 21) = 49 84 + 15 ( 273). И частное решение (84; 273)

Надо найти общее решение уравнения 49x + 15y = 0. Мы получаем

( 15k; 49k).

И общее решение исходного уравнения (84 15k; 273 + 49k); k 2 Z. Можно чуть-чуть упростить: ( 6 15k; 21 + 49k), но можно и не

упрощать.

30