§5. Псевдовекторы.
Величины, которые называются векторами, подчиняются закону сложения треугольником или параллелограммом. Величины, которые при сложении не подчиняются закону параллелограмма, но если их бесконечно малые изменения подчиняются этому закону, то их называют псевдовекторами. К таким величинам относятся угол поворота , угловая скоростьи угловое ускорение.
Определение:Угол поворота -
это псевдовекторная величина, модуль
которой равен центральному углу,
возникающему при вращательном движении,
направлен по оси вращения по правилу
правого винта, начинаясь в центре
окружности.
,
В общем случае движения по сложной трехмерной траектории, ось проходит через центр кривизны соприкасающейся окружности перпендикулярно соприкасающейся плоскости.
Определение:Угловая скорость -
это псевдовекторная величина, равная
первой производной по времени от угла
поворота, направленная по той же оси,
что и угол поворота по правилу правого
винта.
,
Определение:Угловое ускорение
- это
псевдовекторная величина, равная первой
производной по времени от угловой
скорости, или что то же самое, второй
производной по времени от угла поворота,
направленная по той же оси, что и угол
поворота, со направлено с угловой
скоростью при >0,
и противонаправленно при <0.
,
§6. Классификация движения материальной точки.
Рассмотрим вначале простейший случай движения материальной точки:
1)
а)
,
- равномерное прямолинейное движение
б)
2)
- прямолинейное движение
а)
- равнопеременное прямолинейное движение
- равноускоренное движение
- равнозамедленное движение
б)
- ускоренное движение
- замедленное движение
3)
,
,
,
- движение по окружности с изменяющейся
скоростью
а)
- ускоренное движение по окружности
в)
- замедленное движение по окружности
Формулы для вычисления кинематических величин в частных случаях.
1. Равномерное прямолинейное движение:
,
2. Равнопеременное движение:
;
;
;
;
3. Переменное движение:
;
4. Равномерное движение по окружности:
,
-S0,S– начальная и конечная дуги окружности
;
5. Равнопеременное движение по окружности:
,
,
;
;
;
;
;
Угол, пройденный точкой за nполных оборотов:
6. Переменное вращение:
;
;
При решении задачи необходимо выбрать положительное направление вращения (по часовой стрелке), все вектора, которые направлены в сторону положительного, вращения берутся со знаком плюс.
Пример:
§7. Кинематика твёрдого тела.
Не в любой задаче является правомерным рассматривать тело, движение которого исследуется, как материальная точка. Это характеристика, например, для случаев, когда требуется установить законы движения отдельных частей, исследуемого тела. На первый взгляд, рассматривая исследуемое тело как систему материальных точек, можно изучать законы движения каждой такой материальной точки по отдельности, затем, обобщая полученные результаты, установить картину движения тела в целом. Но это не верный подход, так как не будут учтены связи, существующие между материальными точками, которые, собственно говоря, и объединяют их в тело. Пример.
В большинстве случаев, рассматриваемое тело будут моделироваться, как абсолютно твёрдое, так как в этом случае отпадает необходимость учитывать вклад, вносимый в движение различными частями исследуемого тела, деформацией.
Любое сложное движение твёрдого тела можно рассматривать как объединение поступательного и вращательного движения.
Определение:Поступательное движение твёрдого тела - это такое его движение, при котором любая
прямая, жёстко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной своему
первоначальному направлению.
При поступательном движении твёрдого тела все его точки движутся одинаково за малое время dt, радиус-вектор этих точек изменяется на одну и ту же величину. Соответственно в каждый момент времени скорости всех его точек одинаковы и равны. Поэтому кинематика рассматриваемого поступательного движения твёрдого тела сводится к изучению движения любого из его точек. Обычно рассматривают движение центра инерции твёрдого тела, свободно двигающегося в пространстве, имеет три поступательные степени свободы, соответственно его поступательное перемещение вдоль трёх осей координат.
Определение:Вращательное движение твёрдого тела - это такое движение, при котором все его
точки движущиеся по окружностям, центры которых находятся вне пределов тела.
При сложных вращательных движениях твёрдого тела, ось вращения будет изменять свою ориентацию. Поэтому вводится понятие мгновенной оси вращения, то есть оси, относительно которой вращение твёрдого тела в данный момент времени. Следовательно, в следующий момент времени вращение уже будет относительно по-другому расположены оси вращения твёрдого тела, вращается вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы.
Сложно вращающееся тело имеет три вращательные степени свободы. Поступательное тоже имеет три степени свободы. Прямолинейное движение – частный случай поступательного. При движении по окружности скорость любой точки твёрдого тела вычисляется по формуле:
;
Если угловая скорость величина постоянная, то такое движение называется равномерным. Для равномерного движения вводится понятие периода.
Определение:Период вращения называется промежуток времени Т, в течении которого тело, равномерно
вращаясь с угловой скоростью , совершает один оборот вокруг оси вращения
(поворачивается на угол =2).
-
частота
Определение: Частотой называется величина равная полному числу оборотов совершаемых телом за
единицу времени.
Угловая скорость
(угловая частота) связана с линейной
частотой соотношением:
Период и угловая
частота:
В общем случае положение мгновенной оси вращения изменяется по отношению, как и неподвижной системе отсчёта, так и к системе отсчёта жёстко связанная с вращающимся телом. Ускорение произвольной точки М тела. вращающегося вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. проходящей через эту точку. часто называют. в отличие от углового ускорения точки. линейным ускорением. Оно равно:
- вращательное ускорение
- осестремительное ускорение точки,
направленное к мгновенной оси вращения.
Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то вращательное ускорение точки совпадёт с её касательным ускорением, а осестремительное ускорение с нормальным ускорением.
;
Любое
сложное движение твёрдого тела можно
разложить на два простых движения:
поступательное со скоростью некоторой
произвольно выбранной точки А тела и
вращения вокруг оси, проходящей через
точку. Угловая скорость вращения не
зависит от выбора точки А. Скорость
произвольной точки М тела
В динамике твёрдого тела обычно удобно рассматривать сложное движение тела как совокупность двух одновременно совершающихся движений - поступательное со скоростью центра инерции и вращение вокруг центра инерции. Простейший случай сложного движения тела плоское, или плоско-параллельное, движение, при котором все точки тела движутся в параллельной плоскости. Такое движение совершает, например однородный круговой цилиндр, скатывающийся с наклонной плоскости. При плоском движении например мгновенной оси вращения тела вокруг точки не изменяется, а вектора угловой скорости и линейной взаимно перпендикулярны.