Лабораторная работа Измерению площади плоской фигуры палеткой.

Оборудование: модели палеток, миллиметровка, модели фигур, прозрачная бумага, прозрачная миллиметровка, бумага в клетку 1см на 1 см, карандаши.

Ход работы:

1. Рассмотрим различные модели палеток, прозрачную миллиметровку. Сделаем вывод о возможности использования клетчатой бумаги или обычной миллиметровки для измерения площади плоской фигуры, наложением модели фигуры или ее копии на прозрачном носителе на миллиметровку.

2. Обведем контур фигуры на листе миллиметровки. Измерим площадь фигуры. Для этого подсчитаем число квадратных сантиметров лежащих внутри фигуры. Затем подсчитаем число квадратных сантиметров, задевающих фигуру, но не лежащих внутри нее.

3. Используя формулу , где n – число квадратов, целиком лежащих внутри фигуры, и m – число квадратов, задевающих фигуру, но не лежащих внутри нее, подсчитаем площадь фигуры.

4. Разделим какой-либо кривой линией данную фигуру (ее копию на миллиметровке) на две части, найдем площадь каждой части и сумму площадей этих частей. Сравним результат с площадью всей фигуры.

5. Возьмем в качестве единичного квадрата четверть квадратного сантиметра и выполним все операции из пунктов 2-3. Сравним полученный результат с первоначальным.

6. Проделаем операции, указанные в пунктах 2-3, еще дважды. Сравним результаты трех измерений между собой.

При выполнении лабораторной работы возникает ряд вопросов. Вот некоторые из них:

1. Зависит ли площадь фигуры от ее положения на плоскости? Или, иначе говоря, если сдвинуть фигуру и изменить ее положение на плоскости относительно сети квадратов, изменится ли площадь фигуры? Или еще иначе, имеют ли равные фигуры равные площади? Интуиция, наглядные представления о площадях подсказывают положительный ответ на этот вопрос. К такому же выводу приводят и строгие рассуждения. Реально же мы получаем противоположный результат. Меняя положение фигуры относительно сети квадратов (пункт 6 ) получаем, что одна и та же фигура имеет разные числовые значения площади при одной и той же единице площади.

2. Если фигуру разбить на несколько частей, то как связаны между собой площадь всей фигуры и площади ее частей? Интуиция, наглядные представления о площадях подсказывают, что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. К такому же выводу приводят нас и строгие рассуждения. А на деле сумма площадей частей фигуры( см. пункт 4) отличается от ее площади, найденной в пункте 3.

3. Что произойдет с площадью, если изменить единичный отрезок? Интуиция и здесь подсказывает, что площади всех фигур изменяются “одинаково”, т.е. площадь каждой фигуры при “новой” единице измерения длины будет равна площади этой фигуры при “старой” единице длины, умноженной на одно и то же число. К такому же выводу нас приведут и строгие рассуждения. В пункте 5 лабораторной работы получилось не так.

Почему же, выполняя лабораторную работу по нахождению площади фигуры с помощью палетки, мы видим, что эти очевидные свойства площади не выполняются. Причина такого положения в приближенном характере измерения площади с помощью палетки. С помощью палетки мы получаем площади входящих и объемлющих многоугольников (фигур, составленных из квадратов определенного ранга), а не собственно площадь измеряемой фигуры. Искомая площадь есть предел последовательности площадей, получаемых в процессе измерения с помощью все более мелкой палетки. А ее значение при выбранной единице площади не зависит ни от способа наложения палетки, ни от способа разбиения фигуры на части. Если же выбрать другую единицу площади, то значение искомой площади изменится - умножится на определенное число.