5семанглийскоеКалинина / третийкурс / величина / величинакалинина3
.rtf
Покажем,
что свойства ()-()
однозначно определяют длину отрезка,
т.е. докажем, что существует одна и только
одна функция
( называемая длиной), определенная на
классе всех прямолинейных отрезков и
удовлетворяющая условиям - свойствам
()-().
Доказательство существования.
Возьмем
прямую
,
на которой расположен единичный отрезок
.
Будем считать ее горизонтальной.
Обозначим через
один из концов единичного отрезка.
Далее, разбив единичный отрезок на
,
,
,
…,
равных частей и взяв одну из этих частей,
будем последовательно откладывать
вправо и влево от точки
отрезки, равные этой части. В результате
вся прямая
будет разбита на равные отрезки, которые
мы назовем отрезками ранга
.
Примером
такого разбиения может служить
миллиметровка. Единичный отрезок –
отрезок, равный 1 м, отрезки первого
ранга – дециметры, отрезки второго
ранга – сантиметры, третьего – миллиметры.
Более мелкие отрезки не видны глазу,
однако теоретически разбиение прямой
на отрезки ранга
можно продолжать бесконечно. Заметим,
что
- натуральное число, показывающее степень
числа 10. Единичный отрезок разбит при
этом на
равных частей.
Пусть
теперь
- произвольный отрезок, расположенный
на прямой
.
Обозначим через
число отрезков ранга
,
целиком содержащихся в отрезке
.
Параллельно
теоретическим рассуждениям будем вести
практическую работу на модели прямой
и отрезка
.
(рис.1)
рис.1
На
модели подсчитаем число отрезков
первого, второго и третьего ранга,
целиком лежащих в отрезке
.
Видим, что
= 1 (внутри отрезка уместился 1 дм - рис.1),
= 10 (внутри отрезка уместились целиком
10 см- рис.1),
= 108 (внутри отрезка уместились целиком
108 мм-- рис.2 и рис.3). Последний результат
может быть и другим, ошибка в 1-2 мм вполне
допустима.
Теперь
подсчитаем число отрезков ранга
,
имеющих с данным отрезком
хотя бы одну общую точку. Обозначим это
число
.
Рис.2
Рис.3
Вновь
обратимся к модели. Видим, что
= 3,
= 12,
= 110. Ясно, что если мы возьмем самый
“правый” из содержащихся в
отрезков ранга
,
то примыкающий к нему справа отрезок
ранга
имеет с отрезком
общие точки, но не содержится целиком
в отрезке
.
Аналогично, для самого “левого” из
содержащихся в отрезке
отрезков ранга
.
Следовательно: (
-
)=
2. Проверим, что разности (
-
),
(
-
),
(
-
)
имеют значение, равное 2. Значение
разности (
-
)
может быть и меньше 2. Если один из концов
отрезка
совпадет с концом отрезка ранга
,
то эта разность будет равна 1, если же
оба конца отрезка
совпадут с концами отрезков ранга
,
то разность будет равна 0.
Положим
=
;
=
.
Числа
и
определены для любого
.
Легко видеть, что имеют место соотношения
:
(
=0,1
;
=0,10
;
=0,108
);
(
=0,3
;
=0,12
;
=0,110
).
Действительно,
всякий отрезок ранга
разбит на 10 отрезков ранга
+1.
Если исходный отрезок ранга
содержится в отрезке
,
то каждый из десяти отрезков ранга
+1
содержится в
.
Если
хотя бы один из десяти отрезков ранга
+1
имеет общую точку с отрезком
,
то и исходный отрезок ранга
имеет общую точку с отрезком
.
Отсюда
и
,
а потому
;
.
Из
очевидного соотношения
(
)
находим, что монотонная последовательность
;
;
…
ограничена сверху для любого
:
.
Следовательно, существует предел
.Так
как всякая