1.3. Волны материи

В соответствии с современными представлениями лю­бые мате­ри­альные объекты характеризуются наличием и кор­пускулярных и волновых свойств, взаимосвязь между ко­торыми определяет урав­нение де Бройля: = h/(mv), где m и v – масса и скорость дви­жения материального объекта, характеризующие его корпус­ку­лярные свойства, а  - длина волны, отражающая волновые свойства объекта.

Пример 1. Определите энергию фотона в джоу­лях и элект­рон-воль­тах, соот­вет­ствующего красной грани­це видимого све­та (= 750 нм). Чему равна энер­гия таких фо­то­нов, выраженная в джо­у­лях на моль?

Решение. По уравнению Планка энергия фотона с дли­ной вол­ны :

Е = h = hc/ = 6.62610^-34310⁸/75010^-9 = 2.6510^-19 Дж

Поскольку 1эВ = 1.60210^-19 Дж, то в электрон-вольтах энер­гия фо­то­на состав­ля­ет Е = 1.65 эВ. Энергия одного моля таких фото­нов:

Е = N_A2.6510^-19 = 6.02310²³2,6510^-19 = 1.610⁵ Дж/моль.

Пример 2. Определите длину волны электрона, дви­жу­ще­го­ся со ско­ростью 210⁸ м/c.

Решение. С учетом значений массы и скорости движения электрона: m_e = 9.110^-31 кг, v = 210⁸ м/с, длина волны электрона в соответствии с уравнением де Бройля:

 = 6.62610^-34/(9.110^-31210⁸) = 3.610^-12 м.

Пример 3. Определите массу и энергию фотона, соответствующую по­явле­нию в спектре атомарного водорода наиболее длинноволновой ли­нии серии Баль­ме­ра.

Решение. Наиболее длинноволновая (низкоэнергетическая) линия се­­рии Баль­ме­ра возникает в ре­зуль­тате перехода электрона с третьего на второй энер­ге­ти­чес­кий уровень:

hc/ = (2²m_ee⁴/h²)(1/2² – 1/3²)

 = hc/[(2²m_ee⁴/h²)(1/2² – 1/3²)] = 6.56310^-7 м

Из уравнения де Бройля это соответствует массе движущегося со скоростью света (с = 310⁸ м/с) фотона:

m = h/c = 6.626210^-34/(6.53610^-7310⁸) = 3.310^-36 кг.

Энергия фотона с =6.53610^-7 м определяется уравне­ни­ем Планка:

Е = h = hc/ = 6,626210^-34310⁸/6,53610^-7 = 310^-19 Дж.

Одним из экспериментальных подтверждений наличия у электро­маг­нитного из­лучения не только волновых, но и корпускулярных свойств является фо­то­эф­фект – испускание металлами электронов при освещении их электромагнитным излучением, частота которого больше некоторого порогового значения (крас­ной границы фотоэф­фекта). В соответствии с квантовой теорией Эйнштейна, при освеще­нии поверхности металла электромагнитным излучением, представ­ля­­ющим собой поток фотонов с энергией E = hпроисходит пере­да­ча энергии фотонов электронам металла, которые вылетают из метал­ла с кинетической энергией (mv²/2), равной разности энергии па­да­ю­щих фотонов и энергии вы­хо­да (W) электронов из крис­таллической решетки металла:

mv²/2 = h - W.

Пример 4. Определите красную границу фотоэффекта для цезия, ес­ли работа вы­­хода электрона из цезия состав­ляет 1.9 эВ.

Ращение. В соответствии с уравнением Ейнштейна:

h= hc/ = W + mv²/2

максимальная длина волны, соответствующая красной границе фото­эф­фекта, оп­­­­­­ре­деляется равенством энергии фотонов и ра­боты выхода элект­ро­на W из ма­те­­риала фотокатода hc/ = W:

 = hc/W = 6.62610^-34310^-8/(1.91.60210^-19) = 6.5310^-7 м = 653 нм.

Фундаментальным принципом природы, лежащим в ос­но­ве сов­ре­мен­ных пред­ставлений о корпускулярно-волновой двойст­вен­ности ма­­териальных объек­тов, является принцип неопределеннос­ти Гейзенберга – невозможно сколь угодно точно одновременно оп­ре­де­лить положение и импульс ма­те­ри­аль­ного объекта:

 qp h/2,

где q – неопределенность положения объекта в пространстве (его координат), а p – неопределенность импульса (р = mv) объекта.

Пример 5. Определите относительную неопределенность в поло­же­нии элек­т­­ро­на в атоме водорода при движении его по первой бо­ров­ской орбите, если от­но­си­тельная точность определения его ско­рос­ти составляет 1%.

Решение. В соответствии с принципом неопределенности:

qp h/2 или qv h/2m_e.

Поскольку ско­рость элек­т­ро­на на первой (n=1) боровской орбите:

v₁ = (h/2)(1/m_er₁),

то из условия задачи следует:

v = 0,01v₁ = 0,01(h/2)(1/m_er₁)

Подставляя выражение для v в соотношение Гей­зен­берга, по­лу­чим:

q0,01(h/2)(1/m_er₁)h/2m_e,

q/r₁ 100

Tаким образом, величина неопределенности в по­ло­жении элек­т­ро­на на бо­ров­­ской орбите составляет более 10000%, что указы­вает на прин­ципиальную не­возможность описания его движения по фиксиро­ван­ным орбитам.

Упражнения:

18. Определите скорость движения электрона, если его дли­­на вол­­ны составляет 2.4210^-8 м.

19. Масса фотона равна массе электрона (9.110^-31 кг). Ка­ко­ва дли­на волны этого фотона?

20. Определите длину волны нейтрона (m = 1.67510^-27 кг), дви­жу­­­ще­­гося со скоростью 410² м/с.

21. С какой скоростью должна двигаться -частица, чтобы ее дли­на волны сос­тав­ляла 210^-12 м?

22. Определите длину волны молекулы фтора, движущейся со ско­ростью 500 м/с. Можно ли экспериментально наблюдать волно­вые свойства та­кой моле­ку­лы фтора?

23. Какую энергию необходимо сообщить невозбужденному атому во­до­ро­да, что­бы он мог испускать излучение с  = 1.510^-7 м?

24. Определите энергию фотонов в джоулях, электрон-вольтах и джо­улях на моль, со­от­ветствующих синей границе видимого све­­та  = 400 нм.

25. Радиостанция ведет передачи на частоте 1120 кГц. Какова дли­на волны и энергия фотона такого излучения?

26. Определите величину скорости движения фотоэлектрона, об­ра­­зу­­ю­щего при освещении цезиевого фотокатода видимым све­том с дли­ной волны 450 нм, если работа выхода электрона из це­зия равна 1.9 эВ.

27. Металлический литий испускает электроны под воздействием из­лучения с длиной волны не более 520 нм. Определить работу вы­­хода для лития. Како­ва кинетическая энергия элект­ро­нов, ис­пускаемых литием при осве­ще­нии его светом с = 360 нм?

28. Вывести общее соотношение, связывающее относительные не­оп­­ре­де­лен­­нос­ти в скорости движения электрона (_v = v/v) по боров­ской орбите и его положения (_q = q/r) на орбите.