Расчёт погрешностей

1. Расчёт погрешности определения фокусных расстояний f₁ и f₂ тон­ких линз (метод отрезков).

Измерения величин p,i,i',x₁,x₂ проводились с помощью линейки, поэтому каждая из величин содержит приборную (систематическую) погрешность измерения, кроме этого, величины i, i' содержат случайную ошибку измерения. Так как приборные погрешности измерений пренебрежимо малы по сравнению со случайными, то, согласно формулам (1.11), (1.12), погрешности измерений расстояний s и s' равны случайным погрешностям измерения координат экрана i или i', которые определяются по формуле (П.З) (см. приложение).

Для собирающей линзы, согласно (1.11),,, для рассеивающей -

Погрешности определения фокусных расстояний f₁, и f₂. рассчитать как погрешности косвенных измерений:

. (1.13)

2. Расчёт погрешности величин f₁ и f₂ (метод Бесселя).

Величины L и S получены в результате прямых измерений с помощью линейки. Пренебрегая систематическими погрешностями этих величин, рассчитать случайную погрешность измерения величины S по формуле (П.3) (см. приложение)

Фокусные расстояния f₊ и f_c определяются косвенным путём, поэтому погрешности определения этих величин рассчитываются по методике косвенных измерений:

^.. (1.14)

Расчёт погрешности величины f проведите по формуле

(1.15)

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ

Цель работы: изучение явления дифракции света на дифракционной решётке; изучение дифракционной решётки как спектрального прибора: определение периода, числа штрихов на один миллиметр, угловой диспер­сии и разрешающей способности дифракционной решетки.

Основные теоретические положения

Рис. 2.1. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера.

Дифракционная решетка - оптический прибор, представляющий собой совокупность большого числа параллельных, равноотстоящих друг от друга узких щелей (штрихов) одинаковой формы и размера, нанесенных на какую-либо поверхность. Различают отражательные и прозрачные дифракционные решетки. У отражательных штрихи наносятся на зеркальную (как правило, металлическую) поверхность, наблюдение спектра ведется в отраженном свете. У прозрачных решеток штрихи наносятся на поверхность прозрачной (как правило, стеклянной) пластины либо вырезаются в виде узких щелей в непрозрачном экране, и наблюдение ведется в проходящем свете.

Дифракция света на преграде с периодической структурой

Рассмотрим теорию дифракции света на решётке, имеющей период d и ширину каждой щели b. Пусть на решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок света (рис. 2.1). На щелях (штрихах) решетки, соизмеримых с длиной волны света b~λ, происходит явление дифракции - отклонение волн от прямолинейного распространения при взаимодействии их с препятствием. В результате за решеткой лучи пойдут под разными углами во все стороны от каждой точки щели. Эти лучи можно сгруппировать в пучки параллельных между собой лучей.

Установим за решеткой положительную (собирающую) линзу. Каждый пучок параллельных лучей соберется в задней фокальной плоскости линзы в одной точке (точка Р для лучей, дифрагировавших под углом φ к нормали решетки). В этой точке произойдет интерференция световых волн, исходящих от разных щелей решетки. Параллельные лучи, идущие под другими углами дифракции, линза собирает в других точках фокальной плоскости. Описанный метод наблюдения дифракции света на решётке называется методом Фраунгофера. Считая колебания от различных щелей когерентными, на основе принципа Гюйгенса-Френеля можно получить формулу, описывающую распределение амплитуд дифрагировавших волн в зависимости от угла дифракции φ:

(2.1)

где Е - амплитуда колебания, приходящего в точку Р экрана, , N - число щелей и А_о - амплитуда колебания, даваемого одной щелью в направлении первичного пучка φ =0.

Формула (2.1) получается, если суммировать действие отдельных щелей, принимая во внимание возникающую разность фаз. Множитель (A_osinα)/α выражает действие одной щели, а множитель (sinNβ)/sinβ -интерференцию волн, распространяющихся от N щелей.

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды волны, то распределение интенсивности света на экране можно описать следующим выражением:

(2.2)

График функции I_φ=f(sin φ) представлен на (рис.2.2).

Множитель(sinα/α)² описывает дифракционные явления от одной щели, и представляет собой функцию, показанную пунктиром на рис. 2.2. Этот множитель обращается в нуль в точках, для которых выполняется условие:

m=1, 2, 3… (2.3)

Рис.2.2. График функции .

На рисунке видно, что при этом условии дифракционная картина имеет главные минимумы. Можно заметить, что это условие совпадает с условием минимума при дифракции на одной щели. Действительно, если от каждой щели свет приходит в данную точку экрана в ослаблении, то при интерференции света, идущего от всех щелей, в данной точке также будет минимум освещённости.

Множитель (sin Nβ/β)² описывает интерференцию волн от N коге­рентных щелей. Максимальное значение этого множителя, равное N², возникает при условии sin Nβ= 0, sin β = 0, что дает выражение:

sin φ = тλ/d, m= 0, 1, 2, 3... (2.4)

Это условие определяет положение главных максимумов, т - поря­док максимума.

Для направлений, определяемых условием (2.4), колебания от от­дельных щелей взаимно усиливают друг друга. Мысленно выделим по од­ной узкой полоске от каждой щели так, чтобы они были одинаковыми по ширине и по расположению. Если разность хода параллельных лучей, ис­ходящих от соседних полосок, составляет dsin φ = тλ, то, сходясь в одной точке экрана, колебания усилят друг друга. Значит, амплитуда колебаний возрастет в N раз по сравнению с амплитудой колебания, исходящего от одной щели, а интенсивность возрастет в N² раз.

Из (2.2) можно определить распределение интенсивности по главным максимумам. Подставляя sinφ, соответствующий направле­нию на m-й главный максимум, в формулу (2.2), получаем;

I_m = I₀₌I_φN² , (2.5)

где I₀ - интенсивность света, даваемого одной щелью в направлении пер­вичного пучка φ=0, I_φ- интенсивность света, даваемого одной щелью в направлении φ.

Из полученной формулы также видно, что интенсивность максимумов возрастает в N² раз. Кроме этого, следует, что при дифракции плоской волны на структуре из N щелей относительная интенсивность максимумов суммар­ной дифракционной картины обусловлена зависимостью I_m~1/m² (то есть ин­тенсивность максимумов сильно уменьшается с ростом их порядка), а также зависит от соотношения ширины щели b и постоянной решетки d.

Между соседними главными максимумами расположены N-1 мини­мумов, в которых sin N β = 0. Это условие можно привести к виду:

sin φ = m'λ/Nd, m' ≠ 0, N, 2N… (2.6)

Это условие содержит и условие главных максимумов при т'=0, N, 2N... Между минимумами находятся побочные максимумы, в которых интенсивность волны при достаточно большом N пренебрежимо мала.

Дифракционная решетка

Из-за того, что дифракционная картина при дифракции света на решётке имеет узкие интенсивные максимумы, дифракционная решётка используется как спектральный прибор. Из формулы (2.4), определяющей направления на главные максимумы, видно, что эти направления зависят от длины световой волны λ (за исключением максимума нулевого порядка, т=0). Поэтому решетка в каждом порядке m≠0 разложит падающий на нее свет в спектры различных порядков. Причем наибольшее отклонение в каждом порядке испытывает красная часть спектра (более длинноволновая).

Основными характеристиками дифракционной решётки являются период решётки d или число штрихов на единицу длины п =1/d, угловая дисперсия, разрешающая способность.

Угловая дисперсия D характеризует степень пространственного (углового) разделения волн с различными длинами λ. По определению D называется величина

. (2.7)

Дисперсия определяет угловое расстояние dφ между направлениями двух спектральных линий, отличающихся по длине волны на 1 нм (dλ = 1нм), характеризует степень растянутости спектра вблизи данной длины волны.

Формула для расчета угловой дисперсии решетки может быть получена при дифференцировании условия главных максимумов (2.4):

d cos φ dφ = m dλ.

(2.8)

Рис.2.3 Интенсивность света дифракционной картины в области двух близких спектральных линий.

Из этого выражения следует, что угловая дисперсия решетки тем больше, чем больше порядок спектра, а ширина спектров больше у решетки с меньшим периодом. Обычно в пределах спектра одного порядка cos φ меняется незначительно (особенно для решеток с небольшим числом штрихов на миллиметр), поэтому дисперсия в пределах одного порядка почти не меняется и можно считать, что спектр растянут равномерно во всей области длин волн. Это выгодно отличает спектр решетки от спектра, даваемого призмой Разрешающая способность R по определению

R = λ/δλ , (2.9)

где δλ - наименьшая разность длин волн спектральных линии, при которой эти линии воспринимаются еще раздельно, т.е. разрешаются. По ряду причин величина δλ не может быть определена точно, а лишь ориентировочно. Такой условный критерий был предложен Рэлеем.

Согласно критерию Рэлея, спектральные линии с разными длинами волн, но одинаковой интенсивности, считаются разрешёнными, если главный максимум одной спектральной линии совпадает с ближайшим минимумом другой (рис. 2.3).

В этом случае между двумя максимумами возникает провал, составляющий около 20% от интенсивности в максимумах, и линии еще воспринимаются раздельно.

Согласно критерию Рэлея и условиям (2,4) и (2.6), необходимо, чтобы максимум m-го порядка линии с длиной волны λ+δλ. (см. рис. 2.3) совпадал по направлению с ближайшим минимумом линии δλ:

d sin φ_m = m(λ+δλ) = ,

так как для первого ближайшего минимума, следующего за главным максимумом, выполняется соотношение т' = mN + 1, то из последней формулы следует, что

. (2.10)

Для повышения разрешающей способности спектральных приборов можно, как показывает формула (2.10), либо увеличивать число N когерентных пучков, либо повышать порядок интерференции т.