Поверхности вращения

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении кривой или прямой линии, называемой образующей вокруг оси (рис.1).

Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей и оси

Рисунок 1. Образование поверхности вращения.

Каркас поверхности состоит из множества образующих, называемых меридианами и окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси вращения (рис.1). Каждая точка, принадлежащая образующей, при вращении описывает окружность. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

1. Плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели.

2. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум

 симметричным относительно оси линиям – меридианам.

Плоскость проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Поверхности вращения

Тор

Параболоид вращения

Гиперболоид вращения однополосный

Гиперболоид вращения двуполостной

Развертывающиеся линейчатые поверхности

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. Из кривых поверхностей этим свойством обладают только те линейчатые поверхности, которые имеют ребро возврата. Существует только три вида линейчатых поверхностей, имеющих ребро возврата: торсы, конические и цилиндрические.

Торсы

Данная поверхность получается перемещением прямой линии, которая во всех положениях остается касательной к пространственной кривой. Эта кривая называется ребром возврата.

Точка касания делит образующую на две полупрямые, поэтому поверхность имеет две полости.

Частным случаем торса является коническая и цилиндрическая поверхности. Ребро возврата выродилось в собственную точку и в несобственную.

Торсы применяются как геометрические модели откосов насыпи.

НЕРАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ (КОСЫЕ) ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) Прямой цилиндроид

Прямым цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум криволинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой заданной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью параллелизма.

На чертеже изображен цилиндроид, направляющими которого являются кривые m(m₁, m₂ ) и n(n₁, n₂), а плоскостью параллелизма - плоскость (₁) П₁.

Прямой коноид

Прямым коноидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум направляющим, одна из которых - кривая, а вторая - прямая, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма.

Коноид, направляющими которого являются кривая m(m₁,m₂) и прямая n (n₁,n₂), а плоскостью параллелизма - плоскость (₁) П₁, изображен на рис. 2.3.33.