Общие Сведения о кривых линиях
Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.
Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.
В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек.
Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства – пространственная.
Точки стыка дуг называются узлами.
Обвод, заданный координатами своих точек, называется дискретным.
Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные
Секущая и нормаль к кривой линии
Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (прямая m). Нормалью к кривой l называется прямая n, перпендикулярная к l и проходящая через точку касания А
Касательная к кривой линии
Касательной к кривой линии называется прямая, представляющая собой предельное положение секущей. Различают несколько типов касательных к кривой:
Касательная, параллельная заданному направлению
Касательная из заданной точки, не принадлежащей этой кривой
Касательная в точке кривой
Свойства точек кривой
Точка кривой, в которой можно провести единственную касательную, называется гладкой (плавной) (точка А).
Кривая, состоящая только из одних гладких точек, называется гладкой (плавной) кривой.
Точка кривой называется обыкновенной, если при движении точки по кривой направление движения точки по кривой и направление поворота касательной не изменяются.
Точки, не отвечающие этим требованиям, называются особыми.
Особые точки кривой
Точка излома В – кривая в этой точке имеет две полукасательные.
Точка перегиба С – касательная пересекает кривую.
Точка возврата первого рода F (точка заострения) – полукасательные совпадают.
Точка возврата второго рода D (вершина клюва) – полукасательные совпадают.
Узловая точка – точка A, в которой кривая пересекает сама себя и имеет две касательные.
Кривизна кривой
При исследовании свойств кривой бывает необходимо знать кривизну в ее отдельных точках. Направление кривой меняется от точки к точке. Чем более резко меняется направление кривой, тем больше ее кривизна.
Кривизна прямой линии во всех ее точках равна нулю, а кривизна окружности во всех точках постоянна.
Кривизна кривой в заданной точке определяется с помощью окружности, соприкасающейся с ней в этой точке.
Соприкасающейся окружностью называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки.
Центр и радиус соприкасающейся окружности определяют центр и радиус кривизны исследуемой кривой в данной точке.
Кривизной плоской кривой в данной точке называется величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности.
В рассматриваемой точке кривая и соприкасающаяся с ней окружность имеют общие касательную и нормаль.
