Лекции. Начертательная геометрия. 1 семестр / Лекция № 2 арх

Лекция №2

Прямая линия. Способы графического задания прямой линии.

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Положение прямой относительно плоскостей проекций. Классификация прямых

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.1).

Рисунок 1. Прямая общего положения.

Эпюрный признак прямой общего положения: проекции прямой не параллельны осям проекций (x,y,z)

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.2). На горизонтальную плоскость проекций они проецируются в натуральную величину..

Эпюрный признак горизонтали

Проекция A₂B₂//x, проекция A₃B₃//y, проекция- A₁B₁ натуральная величина

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2. Горизонталь

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости  проекций называются фронтальными или фронталями(рис.3). Эпюрный признак фронтали

Проекция A₁B₁//x, проекция A₃B₃//z, проекция A₂B₂ - натуральная величина

а) модель		б) эпюр

Рисунок 3. Фронталь

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис.4). Эпюрный признак профильной прямой

Проекция A₁B₁//y, проекция A₂B₂//z проекция A₃B₃- натуральная величина,

а) модель		б) эпюр

Рисунок 4 . Профильная прямая

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим.  В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. Фронтально проецирующая прямая - АВ .рис.( 5)

а) модель		б) эпюр

Рисунок 5. Фронтально проецирующая прямая

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.6)

а) модель		б) эпюр
Рисунок 6. Профильно-проецирующая прямая

3.3. Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.7)

а) модель		б) эпюр

Рисунок 7. Горизонтально-проецирующая прямая

Взаимное расположение точки и прямой.

Если точка принадлежит прямой, то её проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке 8 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ, так как отвечает требованиям аксиомы.

Рисунок 8. Взаимное расположение точки и прямой

Взаимное положение двух прямых.  Параллельные прямые. Пересекающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые.

 Прямые  линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай:

1. Параллельные прямые линии.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямы параллельны, если параллельны между собой одноименные проекции Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, то есть если AB//CD то A₁B₁//C₁D₁; A₂B₂//C₂D₂; (рис.9). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

Рисунок 9. Параллельные прямые

2. Пересекающиеся прямые.

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис.10).

Рисунок 10. Пересекающиеся прямые

3. Скрещивающиеся прямые

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то они являются скрещивающимися.

Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис.11) соответствуют две точки А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в . Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на одной проецирующей прямой. Точки А и В - называются конкурирующими точками.

Рисунок 11. Скрещивающиеся прямые

Плоскость

Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое определяется аксиомами геометрии.

1. Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;

2. Плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Способы графического задания плоскостей

Плоскость в пространстве можно задать:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой линии

2. Прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой

3. Двумя пересекающимися прямыми

4. Двумя параллельными прямыми

5. Следами (рис.12)

Рисунок 12. Плоскость Р задана следами.

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

положение плоскости относительно  плоскостей проекций

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. 

Рисунок 13. Плоскость треугольника АВС общего положения.

2.Плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек любых фигур в этой плоскости совпадают с горизонтальным следом.

Рисунок 14. Плоскость треугольника АВС горизонтально- проецирующая.

2.2. Плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций - фронтально проецирующая плоскость.

2.3. Плоскость перпендикулярная профильной плоскости - профильно проецирующая плоскость

3. Плоскости параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. Плоскости уровня являются также и проецирующими плоскостями. В зависимости от того, какой плоскости параллельны исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций. На эту плоскость проекций она проецируется в натуральную величину. а на плоскость П₂ - в прямую, параллельную оси проекций.

3.2.  Ф^{ронтальная плоскость - плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций.}

На эту плоскость проекций она проецируется в натуральную величину, а на плоскость П₁ - в прямую, параллельную оси проекций.

Любая фигура в этой плоскости проецируется на плоскость без искажения,

Рисунок 15. Плоскость четырехугольника KLDM фронтальная плоскость.

3.3^. П^{рофильная плоскость - плоскость параллельная профильной плоскости проекций.}

^{( Предложить студентам самостоятельно изобразить плоскости !)}

Принадлежность прямой и точки плоскости.

Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет. Прямая может принадлежать или не принадлежать плоскости. Аксиомы принадлежности:

1. точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, находящейся в этой плоскости.

2. прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадлежат данной плоскости (или прямая, проходящая через любые две различные точки плоскости, принадлежат этой плоскости).

Рис. 1.

Точка D принадлежит плоскости треугольника ABC, так как она принадлежит прямой L, расположенной в плоскости (рис.1).

Прямая L принадлежит плоскости, так как она проходит через точки A и D, принадлежащие плоскости.

Таким образом, чтобы построить вторую (первая задается произвольно) проекцию точки, принадлежащей плоскости, необходимо провести через заданную проекцию точки проекцию прямой.

Для решения ряда задач в плоскости строятся фронталь, горизонталь и профильная прямая, которые называются главными линиями плоскости.

На рис. 2 построена горизонталь h. Построение горизонтали начинаем с фронтальной проекции, которая, согласно эпюрным признакам, параллельна оси Х.

Рис.2. Построение горизонтали.