Лекции. Начертательная геометрия. 1 семестр / Лекция № 3 арх

Лекция 3

Определение взаимного положения прямой и плоскости.

Для решения этой задачи используется следующий алгоритм:

1. Заключить прямую во вспомогательную проецирующую плоскость.

2. Найти линию пересечения двух плоскостей, заданной плоскости общего положения и вспомогательной проецирующей;

3. Проанализировать положение проекций заданной прямой и проекции полученной линии пересечения, если линия пересечения и проекция прямой совпадает, то прямая принадлежит плоскости, если – параллельны, прямая параллельна плоскости, если – пересекаются, то прямая пересекает плоскость.

Рис. 3. Наглядное изображение.

Рис. 4. Построение точки пересечения прямой и плоскости.

Дано: плоскость общего положения АВС и прямая общего положения m (рис.4)

Решаем задачу по определению взаимного положения прямой и плоскости согласно вышеописанному алгоритму:

1. Заключаем прямую во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость

2. Определяем проекции линии пересечения заданной плоскости АВС и вспомогательной проецирующей плоскости . Это линия 1-2.

3. Фронтальная проекция линии пересечения(1₂-2₂) и фронтальная проекция прямой m₂ пересекаются в точке К₂, следовательно прямая пересекает m плоскость.

Если бы проекция 1₂-2₂ была бы параллельна m₂ , то прямая была бы параллельна плоскости, а если бы проекции1₂-2₂ и ₂m₂ совпали, то прямая принадлежала бы плоскости АВС.

Данная задача является не полностью решенной без определения видимости элементов прямой и плоскости. Вопрос видимости решается при помощи конкурирующих точек. Конкурирующие точки- это точки, лежащие на одной проецирующей прямой (рис.5)

Рис. 5. Конкурирующие точки.

На горизонтальной проекции нельзя определить какая точка находится выше, а какая ниже, соответственно нельзя определить какая прямая какую закрывает. Вопрос видимости на горизонтальной проекции решается при помощи анализа расположения фронтальных проекций конкурирующих точек и наоборот.

Рис.6. Определение видимости элементов прямой.

Для определения видимости элементов прямой m на горизонтальной проекции, воспользуемся конкурирующими точками 1и 3, при этом точка 1 принадлежит прямой АС, а точка 3 – прямой m. На горизонтальной плоскости проекции точек совпадают, а на фронтальной –проекция точки 3₂ расположена выше проекции 1₂, следовательно, прямая АС закрыта отрезком прямой m. Аналогично определяем видимость на фронтальной плоскости проекций при помощи конкурирующих точек 4 и 5, при этом точка 5 принадлежит прямой ВС, а точка 4 – прямой m. Проекции точек на фронтальной плоскости проекций совпадают, а на горизонтальной плоскости проекций отчетливо видно, что точка 4, расположена ближе к наблюдателю и закрывает точку 5, следовательно, прямая ВС закрыта отрезком прямой m. Отрезок прямой от точки 4 до точки К – видимый.

Прямая, перпендикулярная плоскости.

Теорема о прецировании прямого угла:

Прямой угол проецируется без искажения, если одна его сторона параллельна плоскости, а другая не перпендикулярна.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости. На практике для построения перпендикуляра к плоскости используют следующую теорему:

Горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали.

Фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

Для того чтобы построить перпендикуляр к плоскости, необходимо в этой плоскости построить линии уровня фронталь и горизонталь, если их нет.

Рассмотрим пример построения перпендикуляра к плоскости общего положения АВС из точки К. Сначала построим в плоскости АВС фронталь f через точку С, (горизонтальная проекция фронтали параллельна оси Х), за тем горизонталь (фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Х).

Фронтальную проекцию перпендикуляра строим из проекции точки К₂ перпендикулярно f₂. Горизонтальную проекцию перпендикуляра – из проекции К₁ перпендикулярно h₁ соответственно.