Коническая винтовая линия

Такую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося вокруг своей оси так, что путь, пройденный точкой по образующей, все время равен углу поворота конуса.

Кривые безье. Сплайны

В векторной графике кривые второго порядка используются для построения базовых форм (примитивов). Кривые второго порядка не имеют точек перегиба, кривые третьего порядка могут иметь одну точку прегиба.

В векторных редакторах применяют не любые кривые третьего порядка, а их особый вид, называемый кривыми Безье. Отрезки кривых Безье — это частный случай отрезков кривых третьего порядка. Они описываются не одиннадцатью параметрами, как произвольные отрезки кривых третьего порядка, а лишь восемью, и потому работать с ними удобнее.

Кривая Безье, названа в честь французского математика Пьера Безье (Р. Bezier), который применял математические кривые и поверхности в процессе конструирования кузова автомобиля Рено. Разработал пригодную к промышленному внедрению методику математического определения сложных кривых, которая позволила конструкторам манипулировать кривыми, ничего не зная о задающих их функциях. В результате этой самой работы и появились на свет кривые, которые теперь носят имя Безье

Кривые Безье – это частный вид кривых третьего порядка. В основе построения кривых Безье лежит использование двух касательных, проведенных к крайним точкам отрезка.

На практике эти касательные выполняют роль «рычагов», с помощью которых линию изгибают так, как это необходимо. На форму линии влияет не только угол наклона касательной, но и длина ее отрезка. Управление касательной (а вместе с ней и формой линии) производят перетаскиванием маркера с помощью мыши. Линия задается графически.

Появление кривых Безье вызвало настоящий переворот в видео и трехмерной графике. Это связано с тем, что до появлении формул Безье контуры компьютерных деталей были ломанными, а движения прерывистыми.

В компьютерной графике используется часто понятия сплайн для определения кривых.

В современных словарях можно найти более точное определение слова сплайн: «заданная математической функцией плавная кривая, соединяющая ряд точек.

Кривые поверхности

Поверхности составляют широкое многообразие нелинейных фигур трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации конструирования, расчета и воспроизведения сложных технических поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей методами начертательной геометрии составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных графических редакторов.

Существуют три способа задания кривых поверхностей:

1. Аналитический - при помощи уравнений;

2. При помощи каркаса;

3. Кинематический, т. е. перемещением линий в пространстве.

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению.

При каркасном способе задания кривая поверхность задается совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей. Этот способ применяется при проектировании кузовов автомобилей, в самолето- и судостроении, в топографии и т. п. В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому целесообразно поверхность рассматривать как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии.

Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими. Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим.

Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несет на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество, линий конгруэнтных профилю резца.

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые, образующая первых – прямая линия (конус, цилиндр), вторых – кривая (сфера).

Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на так называемые развертывающие, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и неразвертывающиеся.

Если же группировать поверхности по закону движения образующей линии и производящей поверхности, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

Поверхности вращения;

Винтовые поверхности;

Поверхности с плоскостью параллелизма;

Поверхности переноса.

Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности.

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.