Замечание:
Аналогично определяются:
b |
f (x)dx |
lim |
b |
f (x)dx. |
|
|
|||
|
|
a a |
|
|
и
–
|
f (x)dx |
lim |
b |
f (x)dx. |
|
|
|||
|
|
a a |
|
|
|
|
b |
|
|
Несобственный интеграл II рода
Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a, b] и непрерывна при a x < c и с < x b, то полагают
b |
f (x)dx lim |
c |
f (x)dx lim |
b |
f (x)dx. |
|||
|
|
|
||||||
aа |
0 |
c |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Несобственный интеграл II рода называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.
Пример:
1 dx .
0 x2
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|||||
При х=0 функция |
|
y |
1 |
терпит бесконечный разрыв |
|||||||||||
|
x2 |
||||||||||||||
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dx |
lim |
1 |
x |
2 |
dx lim |
1 |
|
1 |
|
|
lim |
1 |
|
||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 x2 |
00 |
|
|
|
|
0 x |
|
0 |
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
интеграл расходится.
Замечание:
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов II рода аналогичны признакам сходимости несобственных интегралов I рода
Замечание:
Для сравнения обычно используют интегралы вида:
b |
dx |
, |
b |
dx |
(a 0), |
a |
|
a |
|
||
(x a) |
(b x) |
которые сходятся при < 1 и расходятся при 1.
Пример:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАСХОДИТСЯ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
1 dx |
lim |
1 |
dx |
lim ln x |
|
1 |
0 lim ln |
расходится |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 x |
0 |
0 |
x |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
lim |
|
|
x |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
(x) |
x 0 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
? 7. Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов
Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов
|
b |
y ( x ) |
f (x)dx |
|
|
|
a |
|
|
|
|
y |
= f ( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h b |
a |
|
y 0 |
y 1 |
y 2 |
y i |
y i + 1 |
y n |
n |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
0 |
а =ах 0 |
x 1 |
x 2 |
x i |
x i + 1 |
x n b= b |
х |
|
Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов
y i
h
y i + 1 |
y i |
h |
y |
i + 1 |
|
|
|
|
S h2 ( yi yi 1 )
y ( x )
|
|
|
|
y |
= |
f ( |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
y 0 |
y 1 |
y 2 |
y i |
|
y i + 1 |
y n |
y i |
h |
y |
i + 1 |
||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
а = х 0 |
x 1 |
x 2 |
x i |
|
|
|
x i + 1 |
x n = b |
х |
|
|
|
b |
|
( y0 y1 ) h |
|
y2 ) ... h |
|
|
|||
f (x)dx h |
( y1 |
( yn 1 yn ) |
|||||||
a |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
b |
|
y0 |
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x)dx h |
|
y1 |
y2 ... yn 1 |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
2 |
||
1
1 x2 dx
0
h=0,1
i |
xi |
yi |
|
0 |
|||
0,0 |
1,0000 |
||
1 |
0,1 |
1,0050 |
|
2 |
0,2 |
1,0198 |
|
3 |
0,3 |
1,0440 |
|
4 |
0,4 |
1,0770 |
|
5 |
0,5 |
1,1180 |
|
6 |
0,6 |
1,1662 |
|
7 |
0,7 |
1,2207 |
|
8 |
0,8 |
1,2806 |
|
9 |
0,9 |
1,3454 |
|
10 |
1,0 |
1,4142 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1,0000 |
|
1,4142 |
|
|
|
1 x |
2 |
dx 0,1 |
1,0050 1,0198 ... 1,3454 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,1 11,4838 1,148
1 |
|
|
|
|
|
|
1,0000 |
|
1,4142 |
|
|
|
1 x |
2 |
dx 0,1 |
1,0050 1,0198 ... 1,3454 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,1 11,4838 1,148
1 |
|
|
1 |
|
|
1 ln(1 |
|
|
1 x2 dx |
|
|
|
) 1,1479 |
||||
2 |
2 |
|||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|