? 5. Правила интегрирования
|
|
Замена |
|
|
|
переменной |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx f [ (t)] (t)dt, |
|
||
a |
|
|
|
где x (t) – функция, непрерывная вместе
со своей производной (t) на отрезке
t , a ( ), b ( ),
f [ (t)] |
– функция непрерывная на [ , ]. |
–
.
Пример:
3
x
1 xdx
0
Решение:
|
|
u |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
x u2 1 |
|
2 |
(u2 1) u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 xdx |
|
|
|
|
|
2udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
dx 2udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
u |
|
x 0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
u |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
(u4 |
u2 )du 2 |
u |
5 |
u |
3 |
|
7 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
3 |
15 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
–
.
Пример:
3
x
1 xdx
0
Решение:
|
|
u |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
x u2 1 |
|
2 |
(u2 1) u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 xdx |
|
|
|
|
|
2udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
dx 2udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
u |
|
x 0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
u |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
(u4 |
u2 )du 2 |
u |
5 |
u |
3 |
|
7 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
15 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрирование по частям
b |
|
b |
b |
|
|||
udv uv |
|
a |
vdu, |
a |
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
где u = u(x), v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [ , ].
–
.
Пример:
2
x cos xdx
0
Решение:
|
|
u x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
xcos xdx |
du dx |
|
xsin x |
|
02 |
sin xdx |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
dv cos xdx |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v sin x |
|
|
|
|
|
|
(xsin x cos x) 02
(2 sin 2 cos2 ) (0sin 0 cos0) 1 1 0.
? 6. Несобственные интегралы
–
.
Пример:
2
x cos xdx
0
Решение:
|
|
u x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
xcos xdx |
du dx |
|
xsin x |
|
02 |
sin xdx |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
dv cos xdx |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v sin x |
|
|
|
|
|
|
(xsin x cos x) 02
(2 sin 2 cos2 ) (0sin 0 cos0) 1 1 0.
При определении интеграла
b
f (x)dx
a предполагалось:
1) промежуток интегрирования [a, b] конечен
и
2) подынтегральная функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b].
При определении интеграла
b
f (x)dx
a предполагалось:
1) промежуток интегрирования [a, b] конечен
и
2) подынтегральная функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b].
b
f (x)dx
a
1) промежуток интегрирования [a, b] конечен
и
2)подынтегральная функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b].
Такой определенный интеграл называется собственным (слово собственный обычно опускается).
b
f (x)dx
a
1) промежуток интегрирования [a, b] конечен
и
2)подынтегральная функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b].
Если нарушается, по меньшей мере, одно из двух условий:
1) или 2), то интеграл называется несобственным определенным интегралом (соответственно 1-го или 2-го рода).