Пример:
1 x2 2x 1 dx
0
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
x2dx 2 xdx |
1dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
x3 |
|
1 |
2 |
x2 |
|
|
1 |
x |
|
1 |
|
1 |
1 1 |
|
1 |
||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
0 |
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
1 x2 2x 1 dx
0
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
x2dx 2 xdx |
1dx |
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
x3 |
|
1 |
2 |
x2 |
|
|
1 |
x |
|
1 |
|
1 |
1 1 |
|
1 |
||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
0 |
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–
.
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2cos x 5sin x dx |
||
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
02 |
||
2 |
cos xdx 5 |
sin xdx 2sin x |
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
Пример:
5cos x 02
|
|
sin 0 |
|
|
|
cos0 |
|
2 sin |
|
5 |
cos |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 0) 5(0 1) 2 5 7
войства определенных интегралов
7. Оценка определенного интеграла.
Если m f (x) M на [a, b], то
b
m(b a) f (x)dx M (b a).
a
–
.
Пример:
Оценить интеграл: |
/ 2 |
dx |
|
|
|||
|
0 |
|
. |
|
5 3cos2 x |
||
Решение:
0 cos2 x 1 |
1 |
|
1 |
|
|
8 |
5 3cos2 x 5 |
||||
|
|||||
|
|
|
/ 2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
. |
||
16 |
5 3cos2 x |
10 |
||||||
войства определенных интегралов
8.1 Если f (x) – нечетная функция,
т.е. f (–x) = –f (x), то a
f (x)dx 0.
a
8.2 Если f (x) – четная функция, т.е. f (–x) = f (x), то
a |
f (x)dx 2 |
a |
f (x)dx. |
|
|
||
a |
|
0 |
|
–
.
Пример:
/ 2
sin2 xdx
/ 2
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sin2 xdx 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 xdx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
(1 cos2x)dx (x |
1 |
sin 2x) |
|
/ 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
2 |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
–
.
Пример:
3 x7dx
3 x6 4x2 7
Решение:
3 |
x7dx |
0 |
3 |
|
|
x6 4x2 7 |
войства определенных интегралов
9. (Теорема о среднем значении)
Если f (x) непрерывна на [a, b], то существует такая точка c (a,b),что справедливо равенство
b
f (x)dx f (c)(b a).
a
|
f (c) |
1 |
b |
f (x)dx |
|
|
|
среднее значение функции |
|||
|
|||||
|
|
(b a) a |
|
|
|
Пример:
Найти среднее значение функции
f (x) sin2 x
на промежутке [0, 2 ].
Решение:
1 2 sin2 xdx 2 0
|
1 |
2 |
(1 cos 2x)dx |
|
|
|
|||
4 |
||||
|
0 |
|
|
1 |
(x |
1 sin 2x) |
|
2 |
|
|||||
|
|
||||
4 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
sin 4 |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|||