Интегрирующий множитель |
12/1 |
5 |
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
(x2 y) dx (x2y 2 x) dy 0 |
|
|
|||||
P(x;y) x2 y; |
|
Q(x;y) x2y 2 x |
|
|
|||
Проверим выполнение условий (3): |
|
|
|||||
P (x |
2 y) |
|
1 |
Q (x2y 2 x) 2xy 2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
Q |
Уравнение не является уравнением в полных |
|
||||
y |
x |
дифференциалах. |
|
|
|||
Проверим, есть ли у этого уравнения интегрирующий множитель,
зависящий только от x или только от y.
|
|
Интегрирующий множитель |
13/1 |
|||||||||
|
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Q |
1 (2xy 2 1) |
|
2 2xy |
2 |
|
2(1 xy 2 ) |
|
2 |
||
|
y x |
|
|
|
|
|||||||
|
x2y 2 x |
x2y 2 x |
|
x(xy 2 1) |
x |
|||||||
|
Q |
|||||||||||
Полученное выражение зависит только от x, поэтому уравнение имеет интегрирующий множитель t(x)
t(x) e |
x |
e 2ln x |
|
ln x |
|
1 |
|
|
2dx |
|
e |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||
Умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель:
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
x2 (x |
|
y) dx x2 (x y |
|
x) dy 0 |
||||||||
|
|
|
||||||||||
(1 |
|
y |
|
) dx (y 2 |
1 |
) dy 0 |
|
|||||
|
x2 |
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Интегрирующий множитель |
14/1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решим полученное уравнение в полных дифференциалах |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(1 |
y |
) dx (y 2 |
1 |
) dy 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P(x;y) 1 |
|
y |
|
; |
Q(x;y) y |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P |
(1 |
|
y |
) |
|
1 |
|
Q (y 2 |
1 |
) |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
x2 |
|
x2 |
x |
|
x |
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Условия (4) будут выглядеть так: |
u 1 |
y |
|
; |
u |
y 2 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
x2 |
|
y |
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
u(x;y ) (1 |
y |
|
y |
|
||
|
)dx (y) |
x |
|
(y ) |
||
x2 |
||||||
x |
||||||
Интегрирующий множитель |
15/1 |
5 |
u |
|
x |
y |
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
(y) |
y 2 |
1 |
|
|
x |
x |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
y 3 |
|
|
(y) y |
dy |
3 C |
||
(y) y |
|
||||
Подставим найденную функцию φ(y) в выражение для u(x; y)
u(x;y ) x |
y |
|
y 3 |
C |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
y 3 |
|
Общим интегралом является: |
x x |
3 C |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||