Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1260 вузов, 4599 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
презентации / ДУ / Difury2.ppt
Скачиваний:
82
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
1.05 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Дифференциальные уравнения 1/13

Однородные дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения

Уравнения Бернулли

Однородные дифференциальные 2/13 уравнения

Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого порядка, если при умножении каждого ее аргумента на

произвольный множитель k вся функция умножится на kn:

f (k x; k y ) k n f (x;y )

Например, функция f (x;y ) x2 2xy

является однородной функцией второго порядка, так как:

f (k x;k y ) kx 2 2 kx ky k 2 (x2 2xy ) k 2 f (x;y )

Дифференциальное уравнение

y f (x;y )

называется однородным, если f(x, у) есть однородная функция нулевого порядка.

Однородные дифференциальные 3/13 уравнения

Покажем, что однородное дифференциальное уравнение можно

привести к виду:

 

y

(1)

 

 

 

 

 

y ( x )

 

 

Если f(x, у) есть однородная функция нулевого порядка, то:

f (kx; ky ) f (x;y )

Положив k x1 получим: f (x;y ) f ( xx ; yx ) f (1; yx ) ( yx )

Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными про помощи подстановки:

y

t

 

y t x

y t x t x t x t

x

 

 

 

 

y

t;

y t x t

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Однородные дифференциальные 4/13 уравнения

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

P(x;y )dx Q(x;y )dy 0

(2)

Уравнение (2) будет однородным, если P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции одинакового порядка.

При интегрировании уравнения вида (2) можно сначала привести его к виду (1) или сразу сделать подстановку:

y xt; dy x dt t dx

Однородные дифференциальные 5/13 уравнения

xy y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y 2

 

 

 

 

 

Приведем уравнение к виду (1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x2 y 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy x2 y 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

y

 

 

 

 

 

x2

y 2

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

x2 y 2

 

y

 

 

 

y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

x2

x

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Сделаем замену переменной:

 

 

t;

y t x t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t x t 1 t 2 t

 

x 1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

x

 

lnC

y

1

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

Cx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x2 y 2

Cx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однородные дифференциальные 6/13 уравнения

x2 y 2 dx 2xy dy 0

Уравнение является однородным, так как функции:

P(x;y ) x2 y 2; Q(x;y ) 2xy - однородные второго порядка

Пусть: y xt; dy x dt t dx

x2 (xt)2 dx 2x(xt) (xdt tdx) 0

 

 

 

 

x2dx x2t 2dx 2x3tdt 2x2t 2dx 0

 

 

 

 

 

 

 

x2(1 t 2 )dx 2x3tdt

 

 

dx

 

2tdt

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

d t 2 1

 

 

 

x

 

 

C

ln

 

x

 

ln

 

x

 

ln

 

t 2 1

 

lnC

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C x (

y 2

1)

 

 

 

Cx2

x2 y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейные дифференциальные 7/13 уравнения

ДУ первого порядка называется линейным, если его можно

записать в виде:

y p(x)y q(x) (3)

p(x) и q(x) – заданные функции в частности постоянные. Рассмотрим 2 метода интегрирования линейного уравнения.

Метод Бернулли.

Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций, то есть с помощью подстановки:

y u v

Где u(x) и v(x) – неизвестные функции, причем одна из них произвольная функция, не равная нулю.

Действительно, любую функцию y можно записать как:

y

y

v

 

y u v

(v 0)

v

 

 

 

 

 

Линейные дифференциальные 8/13

 

уравнения

 

 

 

Подставим в уравнение (3): y u v

y u v u v

u v u v p(x) u v q(x)

 

 

 

u v u v p(x) v

 

q(x)

(*)

 

 

 

 

 

 

Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках было равно нулю, то есть решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

v p(x) v 0

Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*)

u v u 0

q(x)

u v q(x)

Получим еще одно уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию u(x)

Линейные дифференциальные 9/13 уравнения

 

y 2xy 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим:

y u v;

 

y u v u v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u v u v 2x u v

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

4x

 

 

 

 

 

u v u v 2x

 

 

 

 

 

v 2x v 0 dvdx 2x v

dvv

 

2xdx

 

 

 

 

 

ln

 

v

 

x2

v e x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При нахождении функции v(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произвольная постоянная С

 

 

 

u v 4x u e

x

2

4x

 

 

du

4x e

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

не прибавляется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du 4x ex2 dx u 2 ex2 d x2

 

 

 

u 2ex2 C

 

 

 

 

 

 

 

 

При нахождении функции u(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, общее решен е уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

произвольная2

постоянная2 С

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

y 2

C e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y u v 2прибавляетсяe C e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейные дифференциальные уравнения

10/1

3

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

y p(x)y q(x) (3)

Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, то есть уравнение вида: y p(x)y 0

Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка.

Это уравнение является также уравнением с разделяющимися переменными.

Решением уравнения будет функция, зависящая от одной произвольной постоянной: y0 f0 (x) C

Метод Лагранжа заключается в том, что постоянную С в

полученном решении заменяем на функцию С(х) и решение

уравнения ищем в виде:

y(x) f0 (x) C(x)

Функция С(х) находится подстановкой y(x) в уравнение (3)

Соседние файлы в папке ДУ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности