Дифференциальные уравнения1/16 высших порядков
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные неоднородные ДУ второго порядка с правой частью специального вида
|
Линейные неоднородные |
2/16 |
||
дифференциальные уравнения |
|
|
||
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) второго |
|
|
||
порядка: |
y a1(x)y a2 (x)y f (x) |
(1) |
|
|
|
|
|
||
Уравнение: y a1(x)y a2 (x)y 0 |
(2) |
|
|
|
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1),
называется соответствующим ему однородным уравнением.
Теорема 1 ( о структуре общего решения ЛНДУ)
Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения
y = C1y1+C2y2 , соответствующего ему однородного уравнения:
y y y *
Метод вариации произвольных |
3/16 |
постоянных |
|
Частное решение у* уравнения (1) можно найти, если известно
общее решение соответствующего однородного уравнения
методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Пусть y C1 y1(x) C2 y2(x) - общее решение уравнения (2)
Заменим в общем решении постоянные С1 и С2 на неизвестные
функции С1(х), С2(х) :
y* C1(x) y1(x) C2(x) y2(x) (3)
Чтобы функция (3) была решением уравнения (1), необходимо чтобы функции С1(х), С2(х) удовлетворяли системе уравнений:
C1(x) y1(x) C2(x) y2(x) 0; (4)
C1(x) y1(x) C2(x) y2(x) f(x)
Метод вариации произвольных |
4/16 |
постоянных |
|
Определитель системы: |
|
y1(x) y2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|||||
|
|
|
(x) |
|
||
|
|
y1(x) |
y2 |
|
|
|
так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений уравнения (2).
Поэтому система (4) имеет единственное решение:
|
|
|
|
|
|
(x) |
2(x) |
|
C1(x) 1(x); |
C2 |
|
||||||
Интегрируя функции |
|
1 |
(x); |
|
2 |
(x) |
находим С (х), С (х) |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||
а затем по формуле (3) составляем частное решение уравнения (1).
Метод вариации произвольных |
5/16 |
постоянных |
|
y y cos1 x
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y y 0 |
|
k2 1 0 |
|
k2 1 |
k i |
y C1 cos x C2 sin x
Найдем частное решение исходного уравнения:
y* C1(x)cos x C2 (x)sin x
Составим систему:
|
|
|
(x) sin x 0; |
|
|
||
C1(x) cos x C2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
cos x |
|
1 |
|
|
|
|||||
C1(x) ( sin x) C2 |
|
cos x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод вариации произвольных |
6/16 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянных |
|
|
|
|
||||||||||
Решим систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
sin x |
|
|
|
|
cos2 x sin2 |
x 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
sin x |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
sin x |
tgx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
sin x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
C1(x) |
1 |
tgx |
C2(x) |
|
2 |
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Метод вариации произвольных |
7/16 |
||||||||
|
постоянных |
|
|
|
|
|
|
|
|
C1(x) tgx dx |
sin x dx |
|
d(cos x) |
ln |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
||||||||
|
cos x |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C2(x) dx x
Запишем частное решение уравнения:
y* lncos x cos x x sin x
Следовательно, общим решением уравнения будет: y y y *
y C1 cos x C2 sin x lncos x cos x x sin x
ЛНДУ второго порядка с правой 8/16 частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
y p y q y f (x) |
(5) |
Согласно теореме 1, общее решение этого уравнения ищется в
виде: |
y y y * |
|
Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть уравнения f(x) имеет так называемый специальный вид:
I |
f (x) P (x) e x |
|
n |
II |
f (x) e x Pn (x) cos x Qm (x) sin x |
ЛНДУ второго порядка с правой 9/16 частью специального вида
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, заключается в следующем: по виду правой
части f(x) уравнения (5) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
I |
Правая часть имеет вид: |
f (x) P (x) e x |
|
|
|
n |
|
Уравнение (5) запишется в виде: y p y q y P (x) e x |
|||
|
Действительное число |
n |
|
|
Многочлен n - ой степени |
|
|
Частное решение ищем в виде: y* xr Qn (x) e x
где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения;
Qn (x) A0 xn A1xn 1 An - многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами A0;A1; An
ЛНДУ второго порядка с правой 10/16 частью специального вида
r
r = 0 (α не
является корнем хар. уравнения:
k1 k2 )
r= 1:
k1 k2
r= 2:
k1 k2
n |
Y* |
0y* A0e x
1y* A0 x A1 e x
2
y* A0 x2 A1x A2 e x
0y* A0 xe x
1y* A0 x A1 xe x
2 
y* A0 x2 A1x A2 xe x
0y* A0 x2e x
1y* A0 x A1 x2e x
2 
y* A0 x2 A1x A2 x2e x