Дифференциальные уравнения1/9 высших порядков
Теорема о наложении решений
Системы дифференциальных уравнений
Теорема о наложении решений |
2/9 |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема ( о наложении решений) |
|
|
Если правая часть ЛНДУ |
|
|
y a1(x) y a2 (x) y f (x) (1) |
|
|
представляет собой сумму двух функций: f (x) f1(x) f2 (x)
а y1* и y2* - частные решения уравнений:
y a1(x) y a2 (x) y f1(x) |
(2) |
y a1(x) y a2 (x) y f2 (x) |
(3) |
то функция y = y1* + y2* является решением уравнения (1)
Уравнения (2) и (3) могут решаться методом вариации произвольных постоянных или методом неопределенных коэффициентов в зависимости от вида правых частей.
Теорема о наложении решений |
3/9 |
|
|
|
|
y 3y 9x2 1 8cos x |
|
|
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f1(x) |
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|||
|
y 3y 0 |
k2 3k 0 k1 3; |
k2 0 |
|||||||||||||
|
|
|
C e3x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
решение уравнения: y 3y 9x2 |
1 |
|||||||
|
Найдем частное |
|||||||||||||||
|
y1* Ax2 Bx C x |
(n 2; |
|
0 k2; |
r 1) |
|||||||||||
y1 * |
|
Ax |
3 |
Bx |
2 |
|
3Ax |
2 |
2Bx C |
|
||||||
|
|
|
Cx |
|
|
|||||||||||
y1 * 3Ax2 2Bx C 6Ax 2B |
|
|
||||||||||||||
|
6Ax 2B 3(3Ax2 |
2Bx C) 9x2 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
Теорема о наложении решений |
|
4/9 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6Ax 2B 9Ax2 6Bx 3C 9x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9A 9 |
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1* x |
3 |
x |
2 |
x |
|||
|
6A 6B 0 |
B 1 |
|
|
|
||||||||
|
2B 3C 1 |
|
C 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем частное решение уравнения: y 3y 8cos x |
|
|
|
|
|||||||||
y2 * Acos x B sin x |
(n 0; |
i i k1;2; |
r 0) |
||||||||||
y2 |
* Acos x B sin x Asin x B cos x |
|
|
|
|
|
|||||||
y2 |
* Asin x B cos x Acos x B sin x |
|
|
|
|
||||||||
Acos x B sin x 3(Asin x B cos x) 8cos x |
|
|
|
||||||||||
|
Теорема о наложении решений |
5/9 |
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
Acos x B sin x 3Asin x 3B cos x 8cos x |
|
|
|||||
|
A 3B 8 |
|
|
A 1 |
|
y2 * cos x 3sin x |
||
|
|
|
|
|||||
|
B 3A 0 |
|
B 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общее решение исходного уравнения запишется в виде;
y y y1 * y2 *
y C1e3x C2 x3 x2 x cos x 3sin x
Системы дифференциальных |
6/9 |
уравнений |
|
Системой дифференциальных уравнений называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.
Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, то есть система вида:
y1 f1(x; y1;y2; ; yn )y2 f2 (x;y1;y2; ; yn )
yn fn (x;y1; y2; ;yn )
называется нормальной системой ДУ.
Одним из основных методов интегрирования нормальных систем является метод сведения системы к одному ДУ n – ого порядка.
|
Системы дифференциальных |
7/9 |
|||||
|
|
уравнений |
|
|
|
||
Найти общее и частное решение системы, удовлетворяющей |
|
||||||
начальным условиям: y(0) = 1; z(0) = 3 |
|
|
|
||||
dy |
4y 3z |
|
|
y 4y 3z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
2y 3z |
|
|
z 2y 3z |
|
|
|
dx |
|
|
|
y 4y 3z |
|
||
Продифференцируем первое уравнение: |
|
||||||
Подставим z’ из второго уравнения системы |
|
|
|||||
y 4y 3(2y 3z) |
|
y 4y 6y 9z |
|
|
|||
Из первого уравнения системы выразим z через y и y’ и |
|
||||||
подставим в полученное уравнение: |
|
|
|
||||
z 4y y y 4y 6y 9 4y y |
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
y 4y 6y 12y 3y |
|
y y 6y 0 |
|
||||
Системы дифференциальных |
8/9 |
уравнений |
|
Продифференцируем полученное ЛОДУ второго порядка:
|
y y 6y 0 |
|
|
k2 k 6 0 |
|
k1 2; |
|||||||||||||||
|
y C e 2x |
C |
2 |
e3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4y |
y |
|
|
|
|
||||
Найдем функцию z из соотношения: |
z |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y C1e |
|
C2e |
|
|
|
y 2C1e |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3C2e |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
3x |
||
z |
4(C e 2x C e3x ) ( 2C e 2x 3C e3x ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
y C1e 2x C2e3x |
|||||||||
z 2C e 2x |
1C |
e3x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x |
|
1 |
|
|
3x |
|||||||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
C2e |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2C1e |
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k2 3
Системы дифференциальных |
9/9 |
уравнений |
|
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y(0) = 1; z(0) = 2
|
1 C1 C2 |
|
|
|
|
1C |
|
|
2 2C |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
Частное решение:
|
|
|
C1 1 C2 |
|
|
|
C1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
2 |
2(1 C2 ) |
C2 |
|
0 |
|||
|
|
3 |
|
C2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e 2xz 2e 2x