Дифференциальные уравнения1/20 высших порядков
Основные понятия
Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные ДУ второго порядка
2/20
Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков.
Символически ДУ высших порядков можно записать: |
|||||
F x,y,y ,y ,...,y n 0 |
или |
||||
y |
(n) |
|
|
n 1 |
|
|
F x,y,y ,y |
,...,y |
|
||
если его можно разрешить относительно старшей производной. Общее решение ДУ n – ого порядка является функцией вида:
y x,C1,C2,...,Cn
Начальные условия для ДУ n – ого порядка задаются в виде:
y(x |
0 |
) y |
; |
y (x |
0 |
) y ; |
y (x |
0 |
) y ; ; |
y(n 1)(x |
0 |
) y(n 1) |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
Решение, получающееся из общего решения при конкретных
значениях произвольных постоянных, называется частным |
|
решением: |
y x,C10,C20,...,Cn0 |
Дифференциальные уравнения, 3/20 допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является
метод понижения порядка.
Рассмотрим 3 вида уравнений, допускающих понижение порядка.
y(n) f (x) (1)
Общее решение данного уравнения находится с помощью последовательного интегрирования :
y(n) d y (n 1) |
|
d y(n 1) |
f (x) |
|
||
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
d y(n 1) |
f (x)dx |
y(n 1) f (x)dx C1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
В результате получается ДУ на порядок ниже. Проинтегрировав уравнение n раз, получим искомую функцию.
Дифференциальные уравнения, 4/20 допускающие понижение порядка
Найти общее решение ДУ: y sin2x
y sin2x dx 21 cos2x C1
y
y
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
2 |
cos2x C1 |
dx |
|
|
sin2x C1x C2 |
|||||||||
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin2x C x C |
2 |
dx |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
1 |
cos2x |
|
|
C x2 |
C |
x C |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дифференциальные уравнения, 5/20 допускающие понижение порядка
|
|
y f (x;y ) |
(2) |
- уравнение второго порядка, не содержащее явно искомой
функции y, |
|
Сделаем замену переменной: y p(x) |
тогда y p |
и получим уравнение первого порядка: |
|
p f (x;p)
Пусть: p (x;C1) - решение данного уравнения.
Заменим функцию p на y : |
y (x;C1) |
Это уравнение вида (1), поэтому: |
|
y(x;C1) dx C2
Вобщем случае, порядок уравнения: F(x;y(k );y(k 1); ;y(n) )
можно понизить на k единиц с помощью подстановки: y(k ) p(x)
Дифференциальные уравнения, 6/20 допускающие понижение порядка
|
|
y |
y(1) 1; |
|||
Найти частное решение ДУ: |
y x 0 |
|||||
|
|
|
p |
p |
||
Сделаем замену: y p; |
y p |
|||||
x |
||||||
Это уравнение с разделяющимися переменными. |
||||||
|
||||||
y (1) 2
0
dp |
|
p |
|
dp |
|
dx |
ln |
|
p |
|
ln |
|
x |
|
lnC1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dx |
x |
p |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p C x y C1x Найдем С1 с помощью начального условия: |
|||
1 |
2 C1 1 C1 2 |
y 2x |
|
y (1) 2 |
|||
y 2x dx |
y x2 C2 |
|
|
|
|
y(1) 1 |
|
Найдем С2 с помощью начального условия: |
|
||
1 12 C2 |
C2 0 |
y x2 |
Дифференциальные уравнения, 7/20 допускающие понижение порядка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y f (y;y ) |
|
(3) |
- уравнение второго порядка, |
|
|
|
||||||||||||
не содержащее явно независимой переменой x. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сделаем замену переменной: |
|
y p(x) |
тогда |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
dp |
dp dy |
|
dp dy |
|
dp |
|
|
|
||||||
y |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dx |
|
dx |
dx dy |
dy dx |
dy y |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
y dp p |
|
Теперь уравнение (3) запишется в виде: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
p f (y;p) |
Пусть: p (y;C ) - решение данного ДУ |
||||||||||||||||||
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy (y;C ) |
|
dy |
|
|
dx |
|
|
|
dy |
|
x C |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
dx |
|
|
1 |
(y;C1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(y;C1) |
|
|
|
|
||||||||
Дифференциальные уравнения, 8/20 допускающие понижение порядка
Найти частное решение ДУ:
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) 2; |
y (0) 2 |
|
||||
|
|
y 2 y (y 1) 0 |
|
|||||||||||||
Сделаем замену: y p; |
|
y dp p |
|
|
||||||||||||
dp p p2 p(y 1) 0 |
|
dy |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как p y 0 |
|
(по начальному условию), получим: |
|
|||||||||||||
dp |
p 1 y - линейное уравнение 1 порядка. |
|
||||||||||||||
dy |
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p u v |
|
|
|
|
uv |
u v uv uv 1 y |
|
|||||||||
dy |
u v |
dv v |
||||||||||||||
u v |
|
u(v |
|
v) 1 |
|
y |
|
|
v v 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
||||||
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v |
|
|
ln |
v |
y |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
v e |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дифференциальные уравнения, 9/20 допускающие понижение порядка
u ey 1 y |
|
du 1 y e y |
|
|
|
|
|
y |
|
||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
du |
1 y e dy |
|||||||
u 1 y |
du dy |
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
u e |
1 y e |
dy |
||||||
|
y |
v e |
y |
|
|
|
|
||||||||
dv e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e y 1 y e y C1 |
e y y C1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
p uv ey e y y C1 |
y C1ey y |
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем C1 с помощью начальных условий: |
2 C e2 2 C1 0 |
|||||||||
y y dydx y |
dyy dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
ln |
|
y |
|
x C2 |
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
y ex C2 |
|
y C2ex 2 C2e0 |
|
C2 2 |
|
|||||
|
|
y 2ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейные дифференциальные 10/20 уравнения высших порядков
Уравнение вида:
b0 (x)y (n) b1(x)y (n 1) bn (x)y g(x) (4)
где b0 (x) 0; b1(x); ; bn (x); g(x)
заданные функции от х, называется линейным ДУ n – ого
порядка
Оно содержит искомую функцию и ее производные лишь в первой степени
Если свободный член уравнения g(x) = 0, то уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным.
Разделив уравнение (4) на b0(x), получим приведенное линейное ДУ:
y(n) a1(x)y(n 1) an (x)y f (x) |
(5) |