Линейные однородные ДУ второго порядка
11/2
0
Рассмотрим линейное однородное ДУ (ЛОДУ) второго порядка:
y a1(x)y a2 (x)y 0 |
(6) |
и установим некоторые свойства его решений.
Теорема 1
Если дифференцируемые функции y1(x) и y2(х) являются
частными решениями уравнения (6), то решением этого уравнения является также функция
y C1 y1(x) C2 y2 (x) |
(7) |
где С1 и С2 – произвольные постоянные.
Для того, чтобы функция (7) являлась также общим решением ДУ (6), функции y1(x) и y2(х) должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям.
Линейные однородные ДУ второго 12/20 порядка
Составим из функций y1(x) и y2(х) определитель вида:
W (x) |
|
y1 |
y2 |
|
(8) |
|
|
||||
|
y |
y |
|
||
|
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
Этот определитель называется определитель Вронского.
Теорема 2
Если на интервале (a, b) определитель Вронского, составленный
из частных решений ДУ (6) y1(x) и y2(х) не равен нулю, то функция y C1 y1(x) C2 y2 (x)
является общим решением ДУ (6).
Функции y1(x) и y2(х) , для которых определитель Вронского не
равен нулю, называются линейно независимыми, в противном случае – линейно зависимыми.
Линейные однородные ДУ второго 13/20 порядка
Совокупность любых двух линейно независимых решений y1(x) и y2(х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную
систему решений этого уравнения. Например, функции y sin x и y cos x
являются частными решениями ЛОДУ : y y 0 :
sin x sin x cos x sin x sin x sin x 0cos x cos x sin x cos x cos x cos x 0
Эти функции являются линейно независимыми, так как определитель Вронского, составленный из них не равен нулю:
sin x |
cos x |
|
W (x) cos x |
sin x |
sin2 x cos2 x 1 0 |
Поэтому общим решением уравнения является функция:
y C1 sin x C2 cos x
ЛОДУ второго порядка с |
14/20 |
постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных уравнений является ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
y py qy 0 |
(9) |
Для нахождения общего решения уравнения (9) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему решений.
Будем искать частные решения ДУ (9) в виде: y ekx
(предложено Эйлером) |
|
|
|
Подставим функцию y ekx |
в уравнение (9): |
|
|
(ekx ) p(ekx ) qekx 0 |
|
k2ekx pkekx qekx 0 |
|
ekx (k2 pk q) 0 |
k2 pk q 0 |
(ekx 0) |
|
ЛОДУ второго порядка с |
15/20 |
||
постоянными коэффициентами |
|
|
|
Уравнение |
k2 pk q 0 (10) |
|
|
называется характеристическим уравнением ЛОДУ (9).
Для его составления достаточно в уравнении (9) заменить y ,y ,y соответственно на k 2,k,1.
При решении уравнения (10) возможны следующие случаи: Корни уравнения (10) k1 и k2 действительны и различны:
k |
k |
|
D |
p2 |
q 0 |
||||||
2 |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В этом случае частными решениями уравнения (9) будут |
|||||||||||
функции: y1 ek1x ; |
|
y2 ek2x |
|||||||||
W (x) |
|
|
ek1x |
|
|
ek2x |
|
|
k2e(k1 k2 )x k1e(k1 k2 )x |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
k1ek1x |
k2ek2x |
k2 k1 e(k1 k2 )x 0 |
||||||||
|
|
||||||||||
ЛОДУ второго порядка с |
16/20 |
постоянными коэффициентами
Функции y1 ek1x ; y2 ek2x
образуют фундаментальную систему решений, поэтому общим решением уравнения (9) будет:
y C1ek1x C2ek2x
y 5y 6y 0 Составим характеристическое уравнение:
k2 5k 6 0 |
k1 2; |
k2 3 y C1e2x C2e3x |
Корни уравнения (10) k1 и k2 действительны и равные:
k k |
|
D |
p2 |
q 0 |
2 |
|
|||
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае имеем лишь одно частное решение y1 ek1x |
||||
ЛОДУ второго порядка с |
17/20 |
постоянными коэффициентами
Еще одним частным решением уравнения (9) будет функция
y2 xek1x (можно доказать, подставив в уравнение) |
|
Функции y1 ek1x ; |
y2 xek1x |
образуют фундаментальную систему решений W (x) 0 Поэтому, общим решением уравнения (9) будет:
y C1ek1x C2 xek1x
y 4y 4y 0 Составим характеристическое уравнение:
k2 4k 4 0 k1 k2 2 y C1e2x C2 xe2x
|
|
ЛОДУ второго порядка с |
18/20 |
||||||||
постоянными коэффициентами |
|
|
|||||||||
Корни уравнения (10) k1 и k2 комплексные: |
|
|
|||||||||
k1 i ; k2 |
i ; D |
p2 |
q 0 |
|
|
||||||
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
; |
|
q |
p2 |
|
|
|
|
||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В этом случае частными решениями уравнения (9) будут функции:
y1 e( i )x ; |
y2 e( i )x |
По формуле Эйлера: ei |
cos i sin имеем: |
y1 e( i )x e x ei x |
e x (cos x i sin x) |
y2 e( i )x e x e i x e x (cos x i sin x)
ЛОДУ второго порядка с |
19/20 |
постоянными коэффициентами
Найдем два действительных решения уравнения (9) . Для этого составим две линейные комбинации решений y1 и y2:
y |
1 |
y |
2 |
|
|
e x (cos x i sin x) e x (cos x i sin x) |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x cos x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||||
|
y |
1 |
y |
2 |
|
|
e x (cos x i sin x) e x (cos x i sin x) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2i e x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
e x sin x y2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции |
|
|
|
1; |
|
2 являются решениями уравнения (9) и |
|||||||||||||||
|
y |
y |
|||||||||||||||||||
образуют фундаментальную систему решений, поэтому общим решением будет:
y e x (C1 cos x C2 sin x)
|
ЛОДУ второго порядка с |
20/20 |
||||||||
постоянными коэффициентами |
|
|||||||||
y 6y 25y 0 |
Составим характеристическое уравнение: |
|||||||||
k2 6k 25 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 8i |
|
||
|
6 36 4 25 |
|
|
|
|
|||||
k1;2 |
6 |
|
64 |
3 4i |
||||||
|
2 |
|||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
y e3x (C cos 4x C |
sin4x) |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||