Дифференциальные уравнения 1/15

Обозначается:

z

;

z

x

x

z

Аналогично:

;

z - частная производная по y,

y

y

вычисленная в предположении, что

х – const.

Выражение

dz

z dx

z

dy

называется полным

дифференциалом

x

y

функции z

Вычислить частные производные от функции:

z sin2

x ex y

z

sin

2

x y

2

x

y

y

sin

2

x

x

x

e

x sin

x e

e

x

e

x e

x

y

2

x

2

x

постоянная

e

sin

x e

sin

x e

постоянная

x

ey 2sin x cos x ex sin2 x ex

ex y sin2x sin2

z

2

x

y

2

x

y

sin2

x ex

y y

sin

x e

e

y

sin

x e

e

y

y

sin

2

x e

x

e

y

2

x

y

постоянные

sin

x

e

постоянная

Дифференциальные уравнения в

6/15

полных дифференциалах

u

P(x,y);

u

Q(x,y)

(4)

x

y

u(x;y ) P(x;y) dx (y)

(5)

Здесь произвольная постоянная

С

= φ(y) зависит от y или

При вычислении

является постоянной. Для ее нахождения продифференцируем

функцию u(x, y) по y.

интеграла, считаем y

постоянным числом

Дифференциальные уравнения в

7/15

полных дифференциалах

u

y P(x;y )dx y

(y) Q(x;y)

(y) Q(x;y)

P(x;y)dx

y

В этом равенстве правая часть зависит только от y, если

выполняются условия (3). Находим φ(y):

(y ) Q(x;y)

P(x;y)dx y dy C

Дифференциальные уравнения в

8/15

полных дифференциалах

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

(2xy 5)dx (3y 2

x2 )dy 0

P(x;y) 2xy 5;

Q(x;y) 3y 2 x2

Проверим выполнение условий (3):

P

(2xy 5) 2x

Q (3y 2

x2 ) 2x

x

y

y

x

P

Q

Уравнение является уравнением в полных

y

x

дифференциалах.

Условия (4) здесь будут выглядеть так:

u

2xy 5;

u 3y 2

x2

x

y

Дифференциальные уравнения

9/15

в полных дифференциалах

u(x;y ) x2y 5x (y )

Q (x;y)

Продифференцируем полученную функцию по y:

u

2

2

(y ) 3y 2 x2

y x

y

5x (y) y

x

(y) 3y 2

(y ) 3y 2dy y 3 C

Подставим найденную функцию φ(y) в выражение для u(x; y)

u(x;y) x2y 5x y 3 C

Общим интегралом является:

x2y

5x y 3 C

11/1

Интегрирующий множитель

5

P

Q

y

x

dx

(7)

t(x) e

Q

Q

P

Если выражение: x

y

Q

P

x

y

dy

(8)

t(y) e

P