ЛНДУ второго порядка с правой 11/16 частью специального вида
Найти общее решение уравнения: y 2y y x 4
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y 2y y 0 k2 2k 1 0 |
k 1 2 0 |
||||||||||||
k1;2 1 |
|
|
C1ex C2 xex |
|
|
||||||||
y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем частное решение исходного уравнения: |
|
|
|||||||||||
f (x) x 4 x 4 e0x P1(x) e0x |
r 0; |
n 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
α = 0 не0являетсяx |
корнем |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y* A0 x A1 e A0 x |
A1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
характеристического |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
(y*) (A0 x A1) A0 |
(y*) |
|
(A0 ) 0 |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
Подставим y*; (y*) ; (y*) в исходное уравнение:
ЛНДУ второго порядка с правой 12/16 частью специального вида
0 2A0 A0 x A1 x 4 |
2A0 A0 x A1 x 4 |
||||||
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: |
|||||||
|
A0 1 |
|
A0 |
|
1 |
|
y* x 2 |
|
|
|
|
|
|||
2A0 A1 4 |
|
|
|
|
|||
|
A1 2 |
|
|
||||
Общее решение исходного уравнения: |
|
|
|||||
|
|
y C ex C |
xex x 2 |
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
ЛНДУ второго порядка с правой 13/16 частью специального вида
II 
Правая часть имеет вид:
f (x) e x Pn (x) cos x Qm (x) sin x
Частное решение ищем в виде: Многочлены степени n и m Действительные числа
y* xr e x (M (x)cos x N (x)sin x)
где r – число, равное кратности α + iβ как корня характеристического уравнения;
M (x); |
N (x) - многочлены степени l, записанные с |
неопределенными коэффициентами, где l - наивысшая степень многочленов P и Q, то есть: max(n;m)
ЛНДУ второго порядка с правой 14/16 частью специального вида
r
r = 0
i k1i k2
r= 1:
i k1
или
i k2
l |
|
Y* |
|
|
0 |
y* e x (A0 cos x B0 sin x) |
|||
|
y* e x ((A x A )cos |
x |
||
1 |
0 |
1 |
|
|
(B0 x B1)sin x) |
|
|
||
|
|
|
||
0 |
y* xe x (A cos x B sin x) |
|||
0 |
|
0 |
||
|
y* xe x ((A x A )cos x |
|||
1 |
0 |
1 |
|
|
(B0 x B1)sin |
x) |
|
|
|
|
|
|
||
ЛНДУ второго порядка с правой 15/16 частью специального вида
Найти общее решение уравнения: y 9y 36cos3x
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: |
|||||||||||||||||
|
y 9y 0 |
k2 9 0 |
k2 9 |
k1;2 3i |
|||||||||||||
|
|
e0x (C cos3x C |
|
sin3x) C1 cos3x C2 sin3x |
|
||||||||||||
y |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем частное решение исходного уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) 36cos3x |
e0x P0 (x) cos3x Q0 (x) sin3x |
|
|||||||||||||||
n 0; |
m 0; |
0; |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 36 |
|
|
|
|
= 0 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 3i 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Число |
является корнем хар. уравнения, поэтому |
|
|
||||||||||||||
r = |
|||||||||||||||||
y* xe0x Acos3x B sin3x |
|
x Acos3x B sin3x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(y*) x Acos3x B sin3x x Acos3x B sin3x |
|
||||||||||||||||
ЛНДУ второго порядка с правой 16/16 частью специального вида
(y*) Acos3x B sin3x 3Ax sin3x 3Bx cos3x
(y*) 3Asin3x 3Bcos3x 3A(sin3x 3x cos3x)
3B(cos3x 3x sin3x)
Подставим y*; (y*) в исходное уравнение:
3Asin3x 3B cos3x 3Asin3x 9Ax cos3x
3B cos3x 9Bx sin3x 9Ax cos3x 9Bx sin3x
36cos3x |
6Asin3x 6B cos3x 36cos3x |
|||||
Приравняем коэффициенты при sin x и при cos x |
||||||
|
6A 0 |
|
A 0 |
y* 6x sin3x |
||
|
|
|
||||
|
6B 36 |
|
B 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y C1 cos3x C2 sin3x 6x sin3x