Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
202
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
507.9 Кб
Скачать

Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим задачу, приводящую к ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:

Задача: материальная точка массы m замедляет свое движение под воздействием силы сопротивления среды,

пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после

начала замедления, если V(0) = 100 м/с, V(1) = 50 м/с.

Решение:

Примем за переменную время t, отсчитываемое от начала замедления точки. Тогда скорость V будет функцией t: V = V(t).

Воспользуемся вторым законом Ньютона:

F m a F m V (t)

В нашем случае F kV 2

k 0 - коэффициент пропорциональности

Уравнения с разделяющимися переменными

Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися

переменными:

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

dV

 

 

k

kV 2 m V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 2

V 2

 

dt

dt

m

m

 

 

 

1

 

 

k

 

t C

 

 

 

V

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

V

m

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

m

 

 

1

 

 

 

По условию задачи: V(0)

 

100 C

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

C

 

 

 

 

 

 

 

 

V(1)

 

 

 

1

 

 

 

 

50

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

1

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 100

 

 

 

 

Скорость точки изменяется по закону:

 

V(3) 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке ДУ