2. Биномиальное распределение вероятностей.

Правая часть формулы Бернулли (1.1) есть общий член разложения бинома Ньютона

, (2.1)

поэтому, если придавать значения , получим соответствующую последовательность вероятностей

. (2.2)

Совокупность вероятностей (2.2) называется биномиальным распределением вероятностей.

Поскольку множество – число появлений событий при испытаниях – составляет полную группу событий, ясно, что . Заметим, что это равенство следует из формулы (2.1), поскольку .

Биномиальное распределение (2.2) позволяет определить не только вероятность появления события ровно раз при испытаниях, но и вероятность того, что число появлений события заключено на некотором отрезке , . В силу несовместности событий искомая вероятность

. (2.3)

Пример 2.1. По каналу связи передаётся 5 сообщений. Каждое из сообщений независимо от других с вероятностью 0,3 искажается помехами. Найти вероятности событий: а) из 5 сообщений 3 искажены; б) не менее 4 из 5 сообщений переданы неискажёнными; в) не более двух передаваемых сообщений искажены; г) все сообщения приняты без искажений; д) не менее двух сообщений искажено.

D а) Так как вероятность искажения , а вероятность передачи сообщения без помех , то по формуле Бернулли

.

б) Искомая вероятность неискажения может быть найдена по формуле (2.3), в которой нужно заменить на :

.

в) Вероятность .

г) Заменяя в формуле Бернулли на , получаем .

д) Искомая вероятность . ▲

3. Наивероятнейшее число появлений события.

Покажем, что при некотором числе вероятность как функция целочисленного аргумента достигает своего наибольшего значения. Число называется наиболее вероятным или наивероятнейшим числом появлений события в серии из испытаний.

Рассмотрим отношение

.

Замечаем, что , т.е. функция возрастает, если . Аналогично , т.е. убывает, если .

Итак, при функция возрастает, а при – убывает. Таким образом, существует число , при котором достигает наибольшего значения. Найдём его.

По смыслу числа имеем и . Отсюда

(3.1)

и

. (3.2)

Решая неравенства (3.1) и (3.2) относительно , получаем:

;

.

Итак, искомое число удовлетворяет неравенствам

. (3.3)

Если число не является целым, то равно целой части этого числа ; если же – целое число, то имеет два значения , .

Пример 3.1. Известно, что часть продукции, изготовляемой заводом, не удовлетворяет требованиям стандарта. Завод изготовил 4500 единиц продукции. Найти наивероятнейшее число изделий завода, удовлетворяющих требованиям стандарта.

D Так как вероятность изготовления бракованного изделия , то вероятность изготовления изделия, удовлетворяющего стандарту, . По формуле (3.3)

,

т.е. . Итак, искомое наиболее вероятное число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, равно 4400. ▲

4. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Распределение Пуассона.

Формула Бернулли в схеме независимых испытаний при больших приводит обычно к громоздким вычислениям. Поэтому для вычисления соответствующих вероятностей важно иметь приближённые, достаточно простые формулы. В частности, в задачах, в которых рассматривается большое число независимых испытаний, а вероятность наступления события в каждом испытании мала, вероятность может быть приближённо вычислена по формуле Пуассона (при достаточно больших ). Справедлива

Теорема 4.1 (Пуассона). Пусть вероятность события при каждом испытании в серии из независимых испытаний равна , где – постоянная, не зависящая от . Тогда вероятность при и фиксированном стремится к .

D Имеем

,

так как . ▲

Таким образом, если , при выполнении условий теоремы получаем

, , . (4.1)

Соотношение (4.1) называется формулой или распределением Пуассона. Из-за малости распределение Пуассона называют также законом распределения редких явлений.

Итак, если вероятность события мала, а число независимых испытаний велико, можно пользоваться приближённой формулой

, , . (4.2)

Пример 4.1. Вычислительный центр (ВЦ) обслуживают 100 программистов, не связанных общей задачей. Вероятность того, что в течение 1 минуты программист обратится в ВЦ, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обратятся в ВЦ: а) три программиста; б) менее трёх программистов; в) более трёх программистов; г) хотя бы один программист.

D Так как обращения в ВЦ программистов являются независимыми событиями, число велико, а вероятность мала, воспользуемся формулой (4.2).

а) Находим . Вероятность события «в ВЦ обратились три программиста»

.

б) По этой же формуле вероятность того, что в ВЦ обратятся менее трёх программистов,

.

в) События – «в ВЦ обратятся более трёх программистов» и – «обратятся не более трёх программистов» – противоположные, поэтому, согласно пп. «а» и «б», вероятность события

.

г) События – «в ВЦ обратился хотя бы один программист» и – «в ВЦ никто не обратился» – противоположные, поэтому вероятность события есть . ▲