Часть 2. Исследование устойчивости и качества переходных процессов системы управления при гибкой отрицательной обратной связи в matlab

Функция fmin(funx1 x2) это функция определяет значение аргументы значения хMin функции fun из диапазона

x1<=x<=x2

x=0:0.1:6 ;

y=2.^x-4*x+6;

plot(x,y)

Рис. 5Функция 2.^x-4*x+6

x=0:0.1:6 ;

y=2.^x-4*x+6;

plot(x,y)

x=fminbnd('2.^x-4*x+6',2,4)

y=2.^x-4*x+6

min x = 2.5288

min y = 1.6557

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования находят широкое применение при решении дифф уравнений, вычислений предельных значений функций f(X) , исследований динамики систем управления, систем массового обслуживания и во многих других технических и научных задач. Наиболее популярными является преобразование Лапласа ,Капсона и Z-преобразования.

Преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа в функции f(x) имеет вид:

(1)

Где f(x) функция преобразования Лапласа которую необходимо найти, если аргументом функции является время t то преобразование Лапласа имеет вид:

(2)

С помощью преобразования Лапласа можно существенно упростить решение задач связанных с определением пределов функции. Для этого служат следующие предельные теоремы:

(3)

В системе MatLab преобразование Лапласа функции f(t) осуществляется с помощью следующих встроенных функций: laplace(F), laplace(F,S), laplace(F, ω,s).

Функция laplace(F).

Функция laplace(F) – преобразование Лапласа символьной переменной F. Если функция F является аргументом t то преобразование Лапласа осуществляется по формуле (2). Если же в F аргумент tотсутствует то преобразование Лапласа осуществляется по переменной в соответствии с алфавитом переменных функции F .

syms a;

laplace(a)

ans =1/s^2

Если необходимо найти преобразование Лапласа переменной n, представляющей собой число например n=2 то функция laplace(F)значений не дает. Это объясняется тем что в данном случае в выражении F отсутствует переменная интегрирования.

syms a b c d t w;

laplace(a+b*c)

laplace(a+d*c)

laplace(a+d*w)

laplace(a+w*t)

ans = a/s + b/s^2

ans = a/s + c/s^2

ans = a/s + d/s^2

ans = a/s + w/s^2

Функция laplace(F,s)

laplace(F,s) – преобразование Лапласа по формуле (2)

syms s;

laplace(3.5,s)

ans =7/(2*s)

laplace(F,s) – преобразование Лапласа по переменной ω .

Функция обеспечивает преобразование функции по формуле:

(4)

syms a b c x s t;

laplace(a,t,s)

laplace(t*exp(-a*t),t,s)

laplace(a+b*c,b,s)

ans =a/s

ans =1/(a + s)^2

ans =a/s + c/s^2

Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Пусть имеется многоканальная система массового обслуживания с отказами. Интенсивность потока заявок на обслуживание λ , интенсивность обслуживания заявки μ , число обслуживающих каналов N=2.

Найдем теперь финальные вероятности состояний, воспользовавшись предельными теоремами (3). На основании имеем итоговую формулу:

То есть, если интенсивность потока заявок равно интенсивности обслуживания , то Рс=4/5=0,8 .

Исследование переходных процессов в системах управления

Обратное преобразование Лапласа

Для получения решения системы дефиринциальных уравнений во временной области необходимо полученной решение в преобразованиях Лапласа представить в виде функции t.

(5)

Существуют таблицы обратных преобразований различных функций однако при наличии универсальных программных средств символьной математики обращаться к ним нет необходимости:

iLaplace (L(s), t),

где L(s)- прямое преобразование Лапласа,

t- аргумент искомой функции f(t)

syms a b s t l;

l = (a+b*s)/ s^2;

ilaplace(l,t)

ответ: ans = b + a*t

syms s t P;

P = (s^2+5*s+4)/(s*(s^2+5*s+5))

ilaplace(P,t)

ответ: P = (s^2 + 5*s + 4)/(s*(s^2 + 5*s + 5))

ans = (cosh((5^(1/2)*t)/2) + 5^(1/2)*sinh((5^(1/2)*t)/2))/(5*exp((5*t)/2)) + 4/5

Задачи управления

При анализе систем управления задача формулируется следующим образом:

Дано: 1. Структурная схема системы(блок-схема)

2. передаточные функции звеньев системы

3. Значение переменных передаточных звеньев

Необходимо определить: 1. устойчивость системы управления

2. качество переходных процессов

3. точность системы

При синтезе системы управления задача формулируется иначе:

Необходимо создать из имеющихся звеньев структурную схему которая удовлетворяла условиям устойчивости (запас по фазе и амплитуде). Качество переходных процессов, форма переходного процесса, длительность , величина перерегулирования. Характерными особенностями исследований с помощью Matlab являются:

Простота

Высокая наглядность

Возможность получения характеристик системы практически любой сложности.

Matlab позволяет: 1. исследовать устойчивость системы управления

2. Получать переходные и частотные характеристики системы

3. Исследовать качество переходных процессов

4. Выбрать параметры звеньев. Вид , и характеристики обратной связи с целью обеспечения требуемых динамических свойств системы.

Функции Matlab для создания передаточных функций звеньев системы

Функция tf()

tf(n,m) где n- вектор коэффициента знаменателя

m – вектор коэффициента передаточной функции

функция tf() служит для функций и звеньев в целом.

Необходимо передать функцию

n = [2 5]

m= [1 0 2 1]

q=tf(n,m)

ответ: Transfer function:

2 s + 5

----------------

s^3 + 2 s + 1

Функции pole() и zero()

Предназначены для определения соответственных полюсов и нулей передаточной функции.

Они имеют вид:

pole(qs)

zero(qs)

где qs – имя передаточной функции заданной оператором tf()

Нулями передаточной функции называются корни числителя а полюсами корни знаменателя.

n = [2 5]

m= [1 0 2 1]

q=tf(n,m)

p= pole(q)

z= zero(q)

ответ: p = 0.2267 + 1.4677i

0.2267 - 1.4677i

-0.4534

z =-2.5000

Функции roots(p) и poly(r)

Функции перднозначены соответственно для вычисления корней полинома и его восстановления по значениям корней.

Эти функции имеют вид:

roots(p)

poly(r)

p – вектор коэффициентов полинома

r – вектор корней полинома

p= [1 3 0 4]

r= roots(p)

p= poly(r)

Ответ: r = -3.3553

0.1777 + 1.0773i

0.1777 - 1.0773i

p = 1.0000 3.0000 -0.0000 4.0000

Функцияconv()

Conv(P,q),

где P,q – векторы коэффициентов полиномов P(s) и q(s)

p=[3 2 1]

q= [1 4]

g=conv(p,q)

Ответ: g = 3 14 9 4

Функцияpolyval()

polyval(n,k) где n- векторполинома

k- значение переменной s

p=[3 2 1]

z=polyval(p,-2)

Ответ: z = 9

Операции с передаточными функциями звеньев

Сложение передаточных функций

n1=[10]

m1=[1 2 5]

n2=[2 12 15]

m2=[1 3 7 5]

z1=tf(n1,m1)

z2=tf(n2,m2)

G=z1+z2

Ответ: Transfer function:

10

----------------

s^2 + 2 s + 5

Transfer function:

2 s^2 + 12 s + 15

---------------------

s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5

Transfer function:

2 s^4 + 26 s^3 + 79 s^2 + 160 s + 125

-----------------------------------------

s^5 + 5 s^4 + 18 s^3 + 34 s^2 + 45 s + 25