Методические указания

В задании 2.1 предлагается построить средствами Symbolic Toolboxизвестное из теоретического курса аналитическое решение задачи Коши:

,y(0)=y₀, (5)

Затем следует осуществить его визуализацию при заданных в таблице 1 значениях параметров функцией ezplot.

В задании 2.2 строится решение той же задачи, что и в предыдущем пункте, но с применением солверов, реализующих численные методы задачи Коши. Как известно, в MATLABэти солверы носят названиеode 45, ode 23, ode 113 и т.п. Их использование предполагает, что уравнение будет предварительно заменено нормальной системой ОДУ 1-го порядка (записано в форме Коши):

. (6)

Необходимо осуществить визуализацию решения при тех же значениях параметров, что и в пункте 2.1, чтобы проконтролировать правильность решения. Затем, меняя значения необходимо обнаружить периодический и апериодический режимы движений и зависимость от начальных условий.

Задание 2.3 предполагает модификацию m-файла, использованного для решения задачи из предыдущего пункта, с целью решения уравнения:

, (7)

описывающего свободные колебания при наличии как вязкого, так и сухого трения.

Значение нового параметра ״b״можно варьировать. Для того чтобы получить решение при наличии только сухого трения, следует затем положить ε=0.

Важно и интересно обратить внимание на характер убывания амплитуд: с точки зрения теории при вязком трении характер их убывания описывается геометрической, а при сухом – арифметической прогрессиями.

Таким образом, потребуется модифицировать функцию, описывающую правую часть системы уравнений и провести подбор необходимого для решения солвера.

Задание 3

Исследование вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы при наличии сил сопротивлений в среде MATLAB.

3.1. Построить и визуализировать средствами Symbolic Toolboxаналитическое решение задачи о вынужденных колебаниях при гармоническом воздействии с учетом вязкого сопротивления.

3.2. Реализовать решение задачи о колебаниях при воздействии произвольного вида с учетом вязкого сопротивления и при заданных значениях параметров в форме интеграла Дюамеля, вычислив его аналитически и численно.

3.3. Аналитически с использованием концепции эквивалентного вязкого демпфирования и численно исследовать вынужденные колебания при гармоническом воздействии с учетом сухого трения и комбинации сухого и вязкого трения.

Методические указания

В задании 3.1 предлагается построить средствами SymbolicToolboxизвестное из теоретического курса аналитическое решение задачи Коши:

(8)

Кроме того, необходимо построить амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики системы для заданного значения ε, ε=0и ряда промежуточных значенийε.

В задании 3.2 необходимо реализовать аналитически и численно решение той же задачи, что и в предыдущем пункте (при гармоническом воздействии), но в форме интеграла Дюамеля (с целью упрощения здесь выписано при y₀=v₀=0):

, (9)

где . (10)

В задании 3.3 предлагается решить уравнение:

(11)

при начальных условиях y(0)=y₀,

Решение такой задачи Коши может вызывать трудности даже при использовании мощных солверов MATLAB. Поэтому, наряду с численным, строится приближенное аналитическое решение, основанное на концепции эквивалентного вязкого демпфирования. В данном случае это означает, что вместо (11) решается (8) (т.е.b=0), но при этом коэффициент ε пересчитывается по формуле (проверить по лекционному курсу)

(12)

Численное и приближенное аналитические решения визуализируются и сопоставляются. Кроме того, как и в задании 3.1 следует построить фазово-частотную и амплитудно-частотную (динамический коэффициент) характеристики системы. При заданном значении ε,приε=0и при различных значенияхb.

Задание 4'

Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

с помощью модуля Simulink.

4.1. Построить графики свободных колебаний при заданных в таблице 1 значениях параметров при различных сочетаниях сухого и вязкого трения.

4.2. Построить графики вынужденных колебаний системы с параметрами, заданными в таблице1.Рассмотреть случай гармонического воздействия и воздействия импульсного типа.

4.3. Оформить скрипт-файл, содержащий результаты, полученные при выполнении заданий 1-3 и задания 4.Сопоставить и сравнить результаты.