Методичка_матрицы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.И. НОСОВА

КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ПРЕДПРИЯТИЙ

МАТРИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ПАКЕТЕ MICROSOFT EXCEL

Методические указания и задания по выполнению контрольных работ для студентов специальности 060800 заочной формы обучения по дисциплине "Информационные технологии в экономике"

Магнитогорск

2004

Составители: Г.В. Данилов В.Н. Кононов

Матричное моделирование экономических задач в пакете Microsoft Excel: Методические указания и задания по выполнению контрольных работ для студентов специальности 060800 заочной формы обучения. Магнитогорск: МГТУ, 2004. 24 с.

Рецензент: Л.В. Палеха

© Данилов Г.В. Кононов В.Н.

2

ВВЕДЕНИЕ

Одним из направлений использования современных информационных технологий является экономико-математическое моделирование и решение экономических задач с использованием высшей алгебры (в первую очередь, матричного исчисления) и математического программирования. Хотя математические методы решения экономических задач были известны давно, их применение длительное время не находило распространения, поскольку расчеты, соответствующие этим методам, характеризуются высокой трудоемкостью. Развитие компьютерной техники и ее широкое применение в производстве снимает ограничение по трудоемкости расчетов, поэтому в настоящее время разрабатываются и используются программные комплексы, позволяющие решать не только отдельные оптимизационные задачи, но и реализовать в полном объеме стратегическое оптимальное управление производством.

Вуправлении матричное моделирование может быть применено в качестве инструмента поддержки принимаемых решений. Использование матричного моделирования позволяет формализовать ряд экономических задач и использовать результаты оптимизационных вычислений при обосновании управленческих решений.

Целью данных методических указаний является рассмотрение примеров использования элементов матричного исчисления при решении экономических задач с использованием программноинструментальных средств электронных таблиц MS Excel.

Вметодических указаниях приводятся пояснения к решению задач и исходные данные для их самостоятельного решения студентами по вариантам.

1.МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

Сточки зрения математика матрица есть прямоугольная таблица, составленная из чисел (или из объектов другой природы). С точки зрения экономиста, матрица должна рассматриваться как естественное логическое обобщение технико-экономического показателя. Матрица, как инструмент экономических расчетов, приобретает дополнительные свойства, уточняющие ее экономическую сущность.

Далеко не любая прямоугольная таблица, составленная из значений технико-экономических показателей, образует матрицу. Элементы матрицы должны обладать свойством однородности. А именно, элементы матрицы характеризуют свойство отношения

3

между объектами двух типов. Объектам первого типа поставлены в соответствие строки, а объектам второго типа – столбцы.

За редким исключением технико-экономические таблицы не являются матрицами. Однако содержательная часть (т.е. таблица без заголовков) любой технико-экономической таблицы может быть однозначно разбита на совокупность матриц, т.е. можно говорить о матричной структуре технико-экономической таблицы.

Приведем пример выделения матриц в технико-экономической таблице. В табл. 1.1 приведены данные о расходе материалов на различные виды продукции.

Таблица 1.1 Расход материалов на производство продукции

В приведенной технико-экономической таблице выделено семь матричных показателей. Матрица расхода материалов на производство продукции имеет прямоугольную структуру. Цены на материалы, объемы производства, суммарный расход каждого вида материалов в количественном и стоимостном выражении, суммарные материальные затраты по каждому виду продукции являются векторами и, наконец, расход материалов в стоимостном выражении на производство всего выпуска продукции представляет собой единичный показатель. Однако все эти показатели нужно рассматривать как матрицы, являющимися структурными частями техникоэкономической таблицы.

Используя элементы матричного исчисления в экономических расчетах, экономист может не знать (или по крайней мере, не помнить наизусть) многие технические моменты, важные и представ-

4

ляющие интерес для математика. Используемые программные средства позволяют экономисту не знать математические тонкости, однако основные свойства матриц и правила работы с ними, имеющие значение при постановке задач, должны быть ему известны.

Перечислим основные свойства матричных операций:

1.Умножение матриц А и В возможно, если число строк матрицы А равно числу столбцов матрицы В.

2.Пусть С = А * В, где С, А и В – матрицы. Тогда число строк матрицы С равно числу строк матрицы А, а число столбцов – равно числу столбцов матрицы В.

3.При транспонировании матрицы строки и столбцы меняются местами.

4.Пусть С = А * В, где С, А и В – матрицы. Тогда Ст = Вт * Ат.

5.Единичная матрица – это матрица, у которой, элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0. При умножении матрицы на единичную матрицу, матрица не изменяется, т.е. А * Е = Е * А = А, где Е – единичная матрица.

6.Система линейных уравнений в матричной форме за-

писывается следующим образом: А * х = b. Используя метод обратной матрицы, находим х = А-1 * b, где А- квадратная матрица, а х и b – векторы-столбцы.

7.При умножении матрицы на вектор-столбец получается столбец соответствующей размерности. Например,

А3х4* c4х1 = b3х1. Если вектор с развернуть в диагональную матрицу, то в результате умножения А3х4 * С4х4 получим матрицу В3х4.

2.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ ФУНКЦИЙ

ВПАКЕТЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ MICROSOFT EXCEL

Впакете электронных таблиц Microsoft Excel используются следующие матричные функции:

МУМНОЖ(); МОБР(); ТРАНСП(); МОПРЕД().

Функция МУМНОЖ(массив1;массив2) используется для нахождения произведения двух матриц (которые хранятся соответствен-

5

но в массиве1 и массиве2). Оба массива должны содержать только числа.

Функция МОБР(массив) возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве. Массив при этом должен иметь равное количество строк и столбцов и содержать только числа.

Функция ТРАНСП(массив) возвращает транспонированную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве. Массив должен содержать только числовые значения.

Функция МОПРЕД (массив) возвращает определитель матрицы, хранящейся в массиве. Массив должен иметь равное количество строк и столбцов и содержать только числа.

Возможности Microsoft Excel по работе с матрицами могут быть расширены за счет написания текста недостающих функций на языке Visual Basic. Например, в прил. 1 представлен текст функции Diag(Vector), которая позволяет развернуть вектор-строку или век- тор-столбец в диагональную матрицу.

При работе с матрицами (и вообще с массивами) в Microsoft Excel необходимо обратить внимание на следующие особенности ввода формул:

−сначала выделяются все ячейки массива, в которые будет введена формула;

−затем вводится формула;

−и нажимается комбинация клавиш Ctrl+Shift+Enter.

При несоблюдении изложенной последовательности действий формула в массив введена не будет.

Даже если в результате использования матричных функций будет получено всего одно значение и формула, включающая в себя матричные функции, будет введена всего в одну ячейку, нажатие комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter является обязательным.

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Учет материалов на складе.

Имеются сведения об остатках материалов на складах предприятия, представленные в форме табл. 3.1.

Используя матричные функции, подсчитать:

1.Сколько материалов каждого вида имеется на предприятии в физических единицах и в стоимостном выражении без учета норм естественной убыли.

6

2.Сколько материалов каждого вида имеется на предприятии в физических единицах и в стоимостном выражении с учетом норм естественной убыли.

3.Сколько материалов есть на каждом складе в стоимостном выражении с учетом и без учета норм естественной убыли.

Рассмотрим порядок решения задачи с использованием элементов матричного исчисления.

Рассмотрим матричную структуру таблицы 3.1. В таблице выделяются заголовки и содержательная часть. Содержательная часть представляет собой прямоугольную таблицу чисел, но эта таблица, рассматриваемая в целом, не является матрицей, т.к. состоит из разнотипных технико-экономических показателей.

Исходную таблицу можно разбить на составные части, являющиеся матрицами, как это показано на рис. 3.1.

Разбиение исходной таблицы на матрицы

Рис. 3.1.

7

Выполнение задания потребует воспользоваться следующими матричными формулами, причем каждая формула соответствует одному из вопросов задания:

Все переменные в формулах (3.1)-(3.6) являются матрицами или векторами.

Символ "~", используемый в формулах, означает, что вектор разворачивается в диагональную матрицу, в которой элементы главной диагонали будут равны соответствующим значениям вектора, а все остальные элементы нулю.

В табл. 3.2 приведены исходные данные по вариантам. Структура исходных данных по каждому варианту в табл. 3.2 полностью соответствует структуре исходных данных табл. 3.1 и рис. 3.1.

8

Таблица 3.2

Исходные данные по вариантам

9

Задача 2. Расчет и оптимизация производственной программы фабрики игрушек.

На фабрике игрушек планируется выпуск двух новых видов машин. Игрушки собираются из деталей трех видов: колесо, ось и модуль. Для производства деталей требуется два вида материалов: сталь и пластмасса. Расходные коэффициенты материалов на детали приведены в матрице A, деталей на игрушки – в матрице B.

Исследования рынка показали, что спрос на продукцию не превысит D шт. Предприятие имеет ограниченный объем оборотных средств в размере O руб. Исходные данные приведены в табл. 3.3, 3.4, 3.5.

1.Определить прибыль на единицу каждого вида игрушек.

2.Найти оптимальный объем выпуска каждого вида игрушек.

10