Методичка_матрицы

В табл. 3.3 и 3.4 жирными рамками выделены содержательные части таблиц.

11

Для обеспечения однозначного понимания всех приводимых формул все векторы будем представлять в виде векторов столбцов и при отображении вектора в строку будем считать его транспонированным соответствующим вектором-столбцом. Следовательно, необходимо иметь в виду, что часть исходных данных в условии задачи: вектор цен на материалы и вектор цен на игрушки приведены в уже транспонированном виде.

Приведем решение задачи для варианта 0.

Получим матрицу сквозных расходных коэффициентов материалов на детали, умножив матрицу A на матрицу B. Результат представим в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Матрица сквозных расходных коэффициентов материалов на детали

где Сед – вектор себестоимостей продукции игрушек каждого вида; А – матрица расходных коэффициентов материалов на детали; B – матрица расходных коэффициентов деталей на игрушки; Pm – вектор цен на материалы.

Для варианта 0 себестоимости единицы продукции игрушек первого и второго вида соответственно составят 458 и 751 руб.

Найдем прибыль от реализации единицы изделия каждого вида по формуле (3.8):

где Pt – вектор цен на игрушки.

Для игрушки первого вида прибыль от реализации единицы изделия составит 92 рубля; для игрушки второго вида – 149 рублей.

Следующий шаг – определение показателей себестоимости и прибыли от реализации для всего выпуска продукции. Поскольку

12

одним из необходимых показателей для этих расчетов является вектор объемов производства продукции каждого вида, который нам неизвестен и который требуется оптимизировать, зарезервируем в электронных таблицах на листе с расчетами ячейки, которые будут соответствовать вектору объемов производства. Во всех расчетных формулах, в которые необходимо подставить объемы производства, сделаем ссылки на эти ячейки.

Определим объем производства игрушек всех видов в количественном выражении по формуле (3.9):

где V – вектор объемов производства игрушек каждого вида; E – единичный вектор столбец.

Определим выручку, себестоимость и прибыль от реализации товарной продукции соответственно по формулам (3.10), (3.11) и (3.12):

Завершив подготовительную часть решения, можно перейти к оптимизации. Оптимизация производственной программы предполагает решение задачи линейного программирования. Линейное программирование является одним из наиболее широко используемых инструментов оптимизации во многих сферах деятельности и представляет собой математический метод решения задачи оптимального распределения имеющихся ресурсов для достижения поставленной цели. Причем все функции и ограничения в задаче носят линейный характер. В качестве ресурса могут выступать денежные средства, материалы, время и т.п. категории, а в качестве типовых целей можно привести достижение наибольшего дохода или обеспечение минимальных издержек. Линейное программирование тесно связано с матричным исчислением. Можно сказать, что наиболее эффективные методы решения задач линейного программирования используют средства матричного исчисления.

13

Запишем задачу оптимизации производственной программы в виде системы линейных уравнений и неравенств (3.12):

где N – множество натуральных чисел.

В электронных таблицах Microsoft Excel задача линейного программирования может быть решена при помощи надстройки пакета "Поиск решения". Для того чтобы воспользоваться этой надстройкой, необходимо, предварительно ее подключив, зайти в пункт меню "Сервис", выбрать "Поиск решения". При этом на экране появится диалоговое окно, показанное на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Диалоговое окно "Поиск решения"

в пакете электронных таблиц Microsoft Excel

14

Вдиалоговом окне "Поиск решения" необходимо установить целевую ячейку, значение которой должно быть оптимизировано, выбрать вариант оптимизации, установить изменяемые ячейки и ограничения, т.е. записанная нами выше система уравнений и неравенств (3.12) должна быть представлена в терминах "Поиска решения".

Врассматриваемой задаче оптимизации производственной программы целевой является ячейка, в которой рассчитывается прибыль от реализации всего выпуска продукции. Поскольку прибыль необходимо максимизировать, выбираем вариант оптимизации "установить целевую ячейку равной максимальному значению". Изменяемыми ячейками в нашей задаче являются объемы производства игрушек каждого вида, т.е. вектор V. И наконец, ограничений, которые необходимо указать в поиске решений, четыре. Это ограничение по спросу, ограничение по оборотным средствам, условие целочисленности и условие неотрицательности.

Ограничение по спросу заключается в том, что объем произ-

водства игрушек всех видов в натуральном выражении VΣ не мо-

жет превышать величины D, указанной в условии задачи. Ограничение по оборотным средствам означает, что себестои-

мость всего выпуска не может превышать имеющегося объема оборотных средств О.

Очевидно, что объем производства каждого вида игрушек не может быть отрицательным или дробным, следовательно, устанавливаются ограничения неотрицательности и целочисленности вектора V.

Когда все необходимые параметры в "Поиске решения" указаны, остается нажать кнопку "Выполнить" и получить результат.

Для варианта 0 были получены значения оптимальных объемов производства игрушек первого и второго вида соответственно 8567 и 1433 шт. При указанных объемах производства достигается максимальное значение прибыли от реализации товарной продукции, равное 1 001 681 руб., и соблюдаются указанные ограничения. Причем поскольку суммарный объем производства игрушек первого и второго вида равен 10 000 шт., можно сделать вывод, что ограничение по спросу вступило в силу, как вступило в силу и ограничение по оборотным средствам: себестоимость всего выпуска составила 4 999 869 руб. и на оставшиеся 131 рубль было бы нельзя произвести ни единицы первого, ни единицы второго вида игрушек, т.к. их себестоимость соответственно равна 458 и 751 руб.

15

Задача 3. Расчет фактической себестоимости продукции ТЭС

Тепловая электростанция включает три структурных подразделения: котельную, турбинный цех и тепловые сети, которые вырабатывают соответственно следующие виды продукции: пар, электроэнергию и тепло. Схема технологических взаимосвязей продукции ТЭС и результаты бухгалтерского учета объемов производства продукции, внутреннего оборота и потребления ресурсов поступающих со стороны представлены на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Схема технологических взаимосвязей продукции ТЭС

Прямо учитываются только расход топлива и химически очищенной воды (ХОВ). Все остальные затраты распределяются по видам продукции косвенно.

В табл. 3.7 показатели деятельности ТЭС представлены в матричной форме. Границы каждой из матриц, входящей в состав тех- нико-экономической таблицы 3.7 расшифрованы в табл. 3.8.

16

Таблица 3.7

Расход энергоресурсов на общий объем выпуска продукции

Таблица 3.8

Матричная структура таблицы расхода энергоресурсов на общий объем выпуска продукции

В табл. 3.8 были использованы следующие условные обозначения:

A– матрица расхода ресурсов, поступающих со стороны;

B– матрица внутреннего оборота;

R – вектор объемов продукции, отгруженной на сторону; W – вектор валового оборота;

P – вектор цен на ресурсы, поступающие со стороны; X – вектор себестоимостей единиц продукции.

На схеме на рис. 3.3 и в табл. 3.7 расход энергоресурсов приведен в натуральных единицах. Через Х1, Х2 и Х3 обозначены фактическая себестоимость в части прямых затрат соответственно единицы пара, электроэнергии и тепла.

Как видно из табл. 3.7 и рис. 3.3, на сторону отпускаются тепло и электроэнергия. Но электроэнергия расходуется и на собственные нужды. В данном примере именно этот факт (т.е. расход электроэнергии на собственные нужды) делает необходимым состав-

17

ление системы линейных уравнений для определения фактической себестоимости продукции электростанции.

Уточним некоторые важные для рассматриваемого вопроса понятия.

Если один продукт расходуется как полуфабрикат на производство другого продукта, то между продуктами существует технологическая зависимость (технологическая связь). Технологические связи можно разделить на два вида: прямые, соответствующие ходу технологического процесса, и обратные, направленные против хода технологического процесса.

Прямые и обратные технологические зависимости образуют замкнутые цепочки. При расчете фактической себестоимости продукции традиционными методами (т.е. без использования систем математических уравнений и элементов матричного исчисления) замкнутые цепочки технологических зависимостей приходится разрывать, что неизбежно приводит к существенным ошибкам в расчетах. Подтвердим этот факт на примере с тепловой электростанцией, рассмотрев оба способа расчета себестоимости продукции и сравнив полученные результаты.

Продукция тепловой электростанции не складируется, что существенно упрощает картину. Фактическая себестоимость (в части прямых затрат) отгруженной продукции равна стоимости израсходованных ресурсов, поступивших со стороны. Для приведенных исходных данных фактическая себестоимость в части прямых за-

трат составит 50*4 +(10+5)*2 = 230 ед.

Рассчитаем себестоимость каждого вида продукции, используя традиционную методику, т.е. двигаясь последовательно по ходу технологического процесса определим себестоимость продукции каждого передела.

В соответствии с ходом технологического процесса начинать надо с определения себестоимости пара, но на производство пара расходуется электроэнергия, себестоимость которой пока неизвестна. Разорвем технологическую зависимость пара от электроэнергии и примем себестоимость электроэнергии на уровне прошлого отчетного периода, например Х2 = 8,5. Следовательно, себестоимость всего выпуска пара составит 50*4 + 10*2 + 4*8,5 = 254 ед. Себестоимость единицы пара равна 254/25 = 10,16. Аналогично рассчитываем себестоимость электроэнергии и тепла.

Расчет в матричном виде будет производиться по формулам

(3.13)-(3.14):

18

Таблица 3.10

Исходные данные для определения себестоимости продукции ТЭС по вариантам

20