§ 9. Предельные теоремы в схеме бернулли.

Если число испытаний достаточно велико, то пользоваться формулой Бернулли не очень удобно. Представьте себе, что требуется вычислить такую вероятность:

Возникает вопрос, можно ли вычислить такую вероятность, не прибегая к формуле Бернулли. Оказывается можно. Для частного случая формула для приближённого вы -числения определённого числа появлений событиядля слу- чая большого числа независимых испытаний была найдена ещё в 1730 году Муавром, а в 1783 году эту формулу обоб -щил Лаплас для произвольного случая. Поэтому ни- жеследующую теорему иногда называюттеоремой Муавра – Лапласа. Доказательство её довольно громоздко, поэтому при- ведём только её формулировку и примеры.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в серии изнезависимых испытаний постоянна и удовлетворяет неравенству, то вероятность того, что в этой серии испытаний событие появится ровнораз приближённо вычисляется по формуле:

(1)

где .

Во всех справочниках приведены таблицы для вычисления функции для положительных значений, так как. Но, в принципе, значения этой функ- ции можно вычислить и непосредственно. Точность приближе- ния тем больше, чем больше.

Пример 1. В среднем 95% часов, поступающих в продажу, не требуют дополнительной регулировки. Найти вероятность того, что из 300 часов, поступивших в продажу, не будет требовать дополнительной регулировки ровно 280.

Тогда ,и получаем

Пример 2. Фирма по установке пластиковых окон расклады- вает рекламные листы по почтовым ящикам. В результате это- го примерно в одном случае из 1000 поступает заказ на изго-товление окна. Найти вероятность того, что при распростране- нии 100000 рекламных листов поступит 90 заказов.

Тогда и получаем

По мере увеличения числа испытаний вероятность того, что некоторое интересуемое нас событие произойдёт определён -ное точное количество раз становится очень близка к нулю, так как число возможных вариантов слишком велико. Поэтому чаще ставится задача определить вероятность того, что число появлений этого события заключено в некотором промежутке. В этом случае работает

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность появле- ния события () в серии изнезависимых ис –пытаний постоянна, причём, то вероятность того, что событие появится больше, но меньшераз приближён- но вычисляется по формуле:

(2)

где

Теорему доказывать не будем, но применяя эту теорему, также можем пользоваться специальной таблицей, тем более, что интеграл не вычисляется через элементарные функции. В таблицах приведены значения для функции, которую называютфункцией Лапласа.

В таблицах приведены значения этой функ- ции для . При

Чтобы можно было пользоваться таблицей, преобразуем формулу (2)

Таким образом, где

Пример 3. В условиях примера 1, определить вероятность того, что не менее 280 часов не потребуют дополнительной регулировки, т.е. найти вероятность

По условию,

Тогда

Пример 4. В условиях примера 2, определить вероятность того, что поступит от 80 до 120 заказов на окна.

По условию,

Тогда

Следовательно,

Прямым следствием интегральной теоремы Лапласа являет- ся формула для вычисления вероятности отклонения отно -сительной частоты от постоянной вероятности в незави -симых испытаниях. Пусть произведено независимых испы -

таний, в каждом из которых вероятность события постоян- на и. Тогда вероятность того, что относительная час- тота появления событияотклонится от вероятностиэто- го событие по абсолютой величине не больше, чем навычисляется по формуле:

(3)

Пример 5. Вероятность того, что изготовленная деталь стан- дартна, равна . Найти вероятность того, что среди отобранных 900 деталей относительная частота стандартных деталей, по абсолютной величине, отклонится от вероятности не больше, чем на 0,04.

Тогда

Пример 6. Вероятность появления события в каждом из не -зависимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число ис- пытаний , при которых с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появлений события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не больше чем на 0,03.

По условию,

Тогда

По таблице значений функции Лапласа, видим, что Тогда

Пример 7. Отдел технического контроля проверяет 500 из- делий на брак. Вероятность бракованного изделия в проверяя- емой партии равна 0,02. С вероятностью 0,96 определить гра- ницы, в которых будет заключено число бракованных изде- лий в данной партии.

Тогда

По таблице получаем иТаким образом, отклонение относительной часто –ты бракованных изделий от постоянной вероятности с вероят -ностью 0,96 удовлетворяет нераверству,

или Так как- целое число, то получаем:

Следует заметить, что формулы Лапласа плохо работают, в таких случаях, когда вероятность события мала ), а число испытаний в опыте велико. В таких случаях удобно применять асимптотическую формулу Пуассона. Предположим, что в разных сериях испытаний произведениесохра- няет постоянное значение (т.е. среднее число появлений события в различных сериях испытаний при различных значенияхостаётся неизменным). Тогда вероятность того, что прииспытаниях событие произойдётраз вычисляя- ется поформуле Пуассона:

(3)

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 8. Автоматическая телефонная станция в среднем за час получает 300 вызовов. Найти следующие вероятности: а) в данную минуту она получит ровно 3 вызова; б) в данную минуту она получит не менее 3 – х вызовов.

Определим среднее число вызовов в минуту .

Тогда, в случае а)

В случае б)

Пример 9. В банк прибыло 2000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что в определённом пакете содержится фальшивый денежный знак, равна 0,0002. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) ровно 4 фальшивых денежных знака; б) хотя бы один.

По условию,

Тогда, в случае а),

В случае б),

Пример 10. Среди семян пшеницы в среднем имеется 0,2% семян сорняков. Найти вероятность того, что при случайном отборе 3000 семян обнаружится 5 семян сорняков.

По условию, Тогда

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ