§ 2 Пространство элементарных событий,

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ.

Будем различать элементарные (неразложимые) события и составные события (или просто события).

Пример 1: подбрасывание игральной кости 1 раз. Элемен -тарные события, обозначим их , число выпавших очков на верхней грани (), Множество всех элементарных событий в данном опыте. Составные события, или просто события, могут быть описаны как подмно- жества множества всех элементарных событий. Например,cо- бытие А - «выпало чётное число очков» можно выразить сле- дующим образом .

Пример 2: Трёхкратное подбрасывание монеты.

Пусть 1 - выпал «герб», 0 – выпала «цифра». Тогда множество всех элементарных событий:

.

Событие А - «при первом подбрасывании выпал герб» можно представить следующим образом»:

.

Пример 3. Стрельба по плоскости.

Если мы введём на плоскости прямоугольную систему коор -динат , то множнство элементарных событий (попадание в некоторую точку плоскости) записывается в виде:

.

Событие А - «попадание в круг единичного радиуса» можем записать в виде .

Итак, элементарные события - это все мыслимые исходы опыта или наблюдения. События могут быть описаны как под- множества множества всех элементарных событий. Совокуп -ность всех элементарных событий данного опыта будем назы- вать пространством элементарных событий и обозначать Оно может быть конечным, как в приерах 1 и 2, счётным () или бесконечным несчёт- ным, как в примере 3. Любое подмножество иножестваназываетсясобытием.

Суммой (или объединением) двух событий называется событие, состоящее из элементарных событий, вхо- дящих по крайней мере в одно из событий А или В.

Например: = «попадание в цель при 1 - м выстреле»,- «попадание в цель при 2 – м выстреле», тогда- «хотя бы одно попадание в цель».

Следует помнить свойство: .

Произведением (или пересечением ) двух событий называется событие, состоящее из элементарных со- бытий, входящих и в событиеи в событие.

Например: = «попадание в цель при 1 - м выстреле»,- «попадание в цель при 2 – м выстреле», тогда- попа- дание в цель при обоих выстрелах.

Свойство: .

Разностью ( или) называется событие, состо- ящее из элементарных событий, входящих в множество, но не входящих в множество. ( Другими словами, событиепроизошло, а событиене произошло.)

Например, при бросании игрального кубика: - «выпала чётная цыфра», т.е.,- «выпала цыфра, крат- ная 3», т.е.. Тогда.

Событие , состоящее из всех элементарных исходов данного опыта, называетсядостоверным событием (проис- ходит «всегда» в данном опыте).

Событие , не содержащее ни одного из элементарных исходов данного опыта, называетсяневозможным событием.

Например, при бросании игрального кубика «выпала цифра от 1 до 6» - достоверное событие, «выпала цифра 10» - не -возможное собтие.

Противоположное событие (событиене произошло) - это дополнение событиядо достоверного, т.е..

Например: - «три дня подряд шёл дождь», тогда- «хотя бы один день дождя не было»;- «из пяти чисел хо -тя бы одно чётное», тогда- «все пять чисел нечётные».

Свойства:

События иназываютсянесовместными, если невоз -можно их одновременное появление в одном опыте, (т.е., если ).

Например, при бросании монеты: - «выпал герб»,- «выпала цифра» - несовместные события.

(влечёт, т.е элементарные события, входя -щие в событие, входят и в событие) - из наступления событияследует наступление события.

Например: - «попадание при первом выстреле»,- «хотя бы одно попадание при трёх выстрелах». Тогда.

Если и, то говорят, что событияиравносильны или эквивалентны.

означает, что элементарное событие входит в событие.

Понятия произведения и суммы событий можно перенести на случай произвольной конечной или бесконечной последо -вательности событий:

Событие состоит из элемен -тарных событий, входящих хотя бы в одно из событий,.

Событие состоит из элементарных событий, входящих одновременно в каждое из событий,.

Говорят, события образуютполную группу, если в результате опыта происходит хотя бы одно из них.

Пусть - произвольное пространство элементарных собы- тий.- некоторый класс подмножеств пространства. Этот класс подмножеств называетсяалгеброй событий, если и для любых событийвыполняется:,.