1.3.2. Определение коэффициентов аппроксимирующей функции

При определении коэффициентов широко используют метод выбранных точек, в соответствии с которым значения коэффициентов определяют исходя из совпадения значений функции со значениями аппроксимирующей функцией в ряде заранее выбранных точек, называемых узлами интерполяции.

Если при аппроксимации ВАХ, задаваемой множеством точек выбрана функция:

, (19)

имеющая неизвестных коэффициентов, то для определения этих коэффициентов выбираютнаиболее характерных точек, лежащих в пределах рабочей области.

Подставляя в уравнение (19) выбранные значения ,, получают систему из-уравнений, решение которой дает искомые коэффициенты.

Очевидно, найденные коэффициенты обеспечивают совпадение значений заданной и аппроксимирующей функции в узлах интерполяции, однако в промежутках между ними погрешность аппроксимации может быть весьма существенной.

Пример 3. Определите значения коэффициентов экспоненциальной функции , аппроксимирующей ВАХ кремниевого диода (см. табл. 3) в диапазоне напряжений от 0 до 1В.

Возможность аппроксимации ВАХ диода экспоненциальным полиномом доказана в примере 2. Там же определена постоянная =-0,085.

Составим уравнение прямой (см.рис.19):

, (20)

где ,и,– координаты двух любых точек, через которые проходит данная прямая.

Выбираем =0,=-2,47 и=1,=-0,962 и получаем уравнение прямой:

. (21)

Сравнивая это выражение с прологарифмированным выражением (14):

, (22)

получаем соотношения для определения неизвестных значений коэффициентови:

=-2,47, =1,538,

откуда =0,085.

Таким образом аппроксимирующая функция:

,

или .

На рис.20 построена аппроксимирующая кривая и нанесены табличные знчения.

Рис.20. Аппроксимация ВАХ диода

На практике для аппроксимации характеристик в основном используют степенные полиномы:

, (23)

и кусочно-линейные функции.

1.3.3. Аппроксимация вах в окрестностях рабочей точки

На практике часто приходится иметь дело с рабочей областью ВАХ настолько узкой, что можно считать, что изменение токов и напряжений происходит только в окрестностях некоторой рабочей точки. В таких случаях нет необходимости аппроксимировать ВАХ в широком диапазоне токов и напряжений, а достаточно ограничиться аппроксимацией лишь в окрестностях точки (рис.21.)

Пусть ток и напряжение в рабочей точке равны ,. Значение токапри изменении напряжения наможно представить в виде ряда Тейлора:

Рис.21. Аппроксимация в окрестностях

рабочей точки

, (24)

где – значение тока в рабочей точке;

−первая и вторая производная, определяемая с помощью формул численного дифференцирования:

; (25)

. (26)

Вводя обозначения:

, , , (27)

уравнение (24) можно представить в виде:

(28)

Как правило, при аппроксимации ВАХ нелинейных резистивных элементов в окрестностях рабочей точки используются полиномы низких степеней и весьма часто полиномом первой степени:

. (29)

Последнее уравнение представляет уравнение прямой линии. Если ВАХ задана графически, то для определения коэффициента достаточно провести касательную к ВАХ и по уравнению:

. (30)

В машинном анализе наибольшее распространение получила сплайн аппроксимация, т.е. аппроксимация полиномом второй степени:

. (31)