1.3 Теплопроводность при стационарном режиме.

1.3.1.Теплопроводность плоской однослойной стенки.

При установившемся, или стационарном тепловом режиме температура тела во времени остаётся постоянной, т. е. . При этом дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид:

или

. (1.2)

Если внутренние точки теплоты отсутствуют, то уравнение (1.2) упростится и примет вид:

или

.

Первым объектом рассмотрения является передача теплоты через плоскую стенку при .

При решении задач теплопроводности задаются граничными условиями первого рода. Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной с постоянным коэффициентом теплопроводности . На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры и .

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. Если ось Оx направить, как показано на рисунке, то температура в направлении осей Oy и Oz будет оставаться постоянной, т.е. температурное поле будет одномерным:

.

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты x и дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая запишется в виде:

. (1.3)

Граничные условия (1-ого рода) при рассматриваемой задачи зададим следующим образом:

при (1.4)

при .

Дифференциальное уравнение (1.2) и граничные условия (1.4) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.

Цель задачи: найти распределение температуры в плоской стенке t=f(x) и формулу для определения количества теплоты.

Закон распределения температуры по толщине стенки можно найти путём двойного интегрирования уравнения (1.3):

первое интегрирование:

второе интегрирование: (1.5)

Уравнение (1.5) -уравнение прямой линии. Отсюда следует, что при температура по толщине стенки изменяется по линейному закону.

Постоянные и можно определить из граничных условий первого рода (1.4):

при и ;

при и .

Подставляя значения и , получим закон распределения температуры в рассматриваемой плоскости стенке:

.

Для определения количества теплоты воспользуемся законом Фурье:

.

Получено, что .

После подстановки в закон Фурье получим:

. (1.6)

Количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности и разности температур наружных поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки .

Следует отметить, что тепловой поток определяется не абсолютным значением температуры, а их разностью , называетсятемпературным напором.

Отношение , [Вт/()], называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина , [ /Вт]- тепловым (термическим) сопротивление стенки.

Зная плотность теплового потока, можно вычислить количество теплоты, переданное через произвольную поверхность F за время :

.

Из уравнения (1.6) следует, что - введем это в уравнение температурного поля:

,

т.е. температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Если учесть зависимость от температуры, то получим более сложные формулы. Для подавляющего большинства материалов зависимость от t определяется уравнением:

.

После несложных преобразований можно видеть, что температура изменяется по кривой. Причём, если - положительно, то выпуклость кривой направлена вверх, если- отрицательно, то выпуклость кривой направлена вниз.