1.2.2 Условия однозначности.
Дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе законов физики и описывает целый класс явлений. Для того чтобы выделить какой-то конкретный процесс к дифференциальному уравнению необходимо добавить математическое описание всех частных особенностей. Эти частные особенности конкретного процесса теплопроводности носят название условий однозначности и дают вместе с дифференциальным уравнением полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности.
Условия однозначности или краевые условия включают в себя:
геометрические условия - задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс теплопроводности;
физические условия - задаются физические параметры тела: теплопроводность, теплоемкость, плотность и т.д., может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты;
начальные (временные) условия - задаются законом распределения температуры внутри тела в начальный момент времени (
= 0), что необходимо для рассмотрения
нестационарных процессов;
В общем случае начальные условия аналитически можно записать:
;
.
В случае равномерного распределения температуры в теле начальные условия упрощаются:
;
.
граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой. Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.
Граничные условия 1-го рода.
Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
,
где
- температура на поверхности тела.
В частном случае, если температура на поверхности не изменяется на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение принимает вид:
.
Граничные условия 2-го рода.
Задается значение теплового потока для каждой точки поверхности и для любого момента времени:
.
В простейшем случае, если плотность не меняется, граничные условия запишутся:
.
в) Граничные условия 3-го рода.
Задаются
температурой окружающей среды 
и законом теплообмена между поверхностью
тела и окружающей средой.
Для
описания процесса теплообмена между
поверхностью тела и средой используют
закон Ньютона-Рихмана, согласно которому
плотность теплового потока пропорциональна
разности температур между поверхностью
тела 
и окружающей средой 
:
,
где
α- коэффициент пропорциональности
(теплоотдачи), Вт/(м² град), характеризует
интенсивность теплообмена между
поверхностью тела и окружающей средой.
Численно он равно количеству теплоты
отдаваемой (или принимаемой) единицей
поверхности в единицу времени при
разности температур между поверхностью
и средой в 1
.
Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое подводится к поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно равняться количеству теплоты, отводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объёмов тела, т.е.
,
где n – нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела ( при n=0)
Окончательно граничные условия 3-рода можно записать в виде
.
Граничные условия 4-го рода.
Описывают равенство тепловых потоков при соприкосновении двух тел.
.