Лекция №2 по теме: «Статистические оценки параметров распределения» Точечные оценки

Числовые показатели, характеризующие генеральную совокупность, называют параметрами, а числовые показатели, характеризующие выборку,— выборочными характеристиками или статистиками. Выборочные характеристики являются приближенными оценками генеральных параметров. Это величины случайные, варьирующие вокруг своих параметров. Оценки генеральных параметров по выборочным характеристикам могут быть точечными и интервальными.

Генеральные характеристики, или параметры, принято обозначать буквами греческого алфавита, а выборочные характеристики— латинского. Выборочная средняя является оценкой генеральной средней а, выборочная дисперсия s_x²—оценкой генеральной дисперсии _x², а среднее квадратическое отклонение s_x — оценкой стандартного отклонения _х, характеризующего генеральную совокупность. Это точечные оценки, представляющие собой не интервалы, а числа («точки»), вычисляемые по случайной выборке.

Требования, предъявляемые к точечным оценкам.

Выборочные характеристики как величины случайные, варьирующие вокруг своих генеральных параметров, в основном не совпадают с ними по абсолютной величине. Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Оценки должны удовлетворять по меньшей мере следующим требованиям: быть состоятельными, эффективными и несмещенными.

Для пояснения смысла этих свойств необходимо рассмотреть понятие выборочного распределения некоторой статистики. Пусть из бесконечно большой генеральной совокупности случайным образом извлекается большое число выборок, каждая из которых включает одно и то же количество наблюдений п. В каждой из этих выборок вычисляют значение статистики и. В силу случайных причин эти величины будут варьировать, образуя некоторое распределение, которое называют выборочным распределением статистики.

В тех случаях, когда распределение анализируемого признака не слишком сильно отличается от нормального вида, а объем выборок не слишком мал, очень часто выборочные распределения многих статистик оказываются нормальными. Поэтому их свойства можно описать только двумя параметрами: математическим ожиданием статистики а_u и ее дисперсией ²_u; если же есть основание считать, что признак имеет, например, распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр , которым это распределение определяется.

Точечная оценка статистики называется состоятельной, если при увеличении объема выборки она стремится к величине генерального параметра. Так, для генеральной средней состоятельной оценкой является выборочная средняя, для генеральной дисперсии состоятельной оценкой будет выборочная дисперсия.

Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками, т. е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.