Элементы теории вероятностей Лекция №1 «Основные понятия теории вероятностей». Введение.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях массового характера независимого от их конкретной природы.

Основой и началом теории вероятностей явились работы Паскаля, Ферма и Гюйгенса, появившиеся в середине XVII века и посвященные области азартных игр. В этих работах были впервые введены такие понятия, как вероятность и математическое ожидание, установлены основные свойства и приемы вычисления этих характеристик.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с так называемым законом больших чисел. Так, Яков Бернулли во второй половине XVII века впервые показал, что с увеличением числа испытаний частота (частость) какого либо случайного события приобретает устойчивость и определенным образом приближается к некоторому безразмерному числу, которое объективно отражает возможность появления случайного события и называется вероятностью.

Методы теории вероятностей приостановлены только для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможностей предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний случайный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным (случайным).

Вероятностные методы не противопоставляют себя классическим методам «точных наук», а являются их дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

В зависимости от сложности случайного явления для его описания используют следующие понятия: случайное событие, случайная величина, случайная функция (рис.1)

Рис.1

Именно в такой последовательности и будем рассматривать закономерности в случайных явлениях.

Первоначальные понятия теории вероятностей

Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом.

Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий  (элементарное событие соответствует элементарному исходу).

Случайными событиями (событиями), будем называть подмножества пространства элементарных событий  .

Пример 1. Подбросим монету один раз. Монета может упасть цифрой вверх - элементарное событие  _ц (или  ₁), или гербом - элементарное событие  _Г (или  ₂). Соответствующее пространство элементарных событий  состоит из двух элементарных событий:

 = { _ц, _Г } или  = { ₁, ₂}.

Пример 2. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий  = { ₁,  ₂,  ₃,  ₄,  ₅,  ₆}, где  _i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = { ₂, ₄, ₆}, A .

Пример 3. На отрезке [0, 1] наугад (случайно) поставлена точка. Измеряется расстояние точки от левого конца отрезка. В этом опыте пространство элементарных событий  = [0, 1] - множество действительных чисел на единичном отрезке.

В более точных, формальных терминах элементарные события и пространство элементарных событий описывают следующим образом.

Пространством элементарных событий называют произвольное множество ,  ={}. Элементы  этого множества  называют элементарными событиями.

Понятия элементарное событие, событие, пространство элементарных событий, являются первоначальными понятиями теории вероятностей. Невозможно привести более конкретное описание пространства элементарных событий. Для описания каждой реальной модели выбирается соответствующее пространство .

Событие  называется достоверным событием.

Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда.

Пример 4. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е.  = { ₁,    ₂,    ₃,    ₄,    ₅,    ₆}, где  _i- выпадение i очков, - достоверное событие.

Невозможным событием называется пустое множество .

Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.

Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда.

Пример 5. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .

Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло. Обозначается ,.

Пример 6. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь  = { ₁,  ₂,  ₃, ₄,  ₅, ₆}, где  _i- выпадение i очков, A = { ₂, ₄, ₆}, =.

Несовместными событиями называются события A и B, для которых A B = .

Пример 7. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, событие B - выпадение числа очков, меньшего двух. Событие AB состоит в выпадении четного числа очков, меньшего двух. Это невозможно, A = { ₂, ₄, ₆}, B = { ₁}, AB = , т.е. события A и B - несовместны.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определение. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Исходя из этих общих понятий можно дать определение вероятности.

Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.

Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное.

Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные.

К примеру при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д.

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.