3. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами.

Если поместить фокусы гиперболы в точках F₁(c; 0) иF₂(-с; 0), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

х²/а² – у²/b² = 1,(15)

где b²=с²–а².

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А₁(а; 0) иА₂(-а; 0) называются вершинами гиперболы. Отрезок |А₁А₂|= 2аназывается действительной осью гиперболы, а отрезок |В₁В₂|= 2b– мнимой осью (рис.2)

Рис. 2

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых:

у = (b/a)х(16)

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки

М (х; у) гиперболы от этой прямой стремится к нулю при х или х - .

Отношение е =с/а 1 (17)

называются эксцентриситетом гиперболы.

Задача. Написать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на осиОх, еслиа= 4,с= 5

Решение. 1. Найдем мнимую полуось гиперболы из соотношенияb²=с²–а²,

b²= 25 – 16= 9, имеяа²= 16,b²= 9, запишем уравнение гиперболы:

х²/16 -у²/9= 1.

4. Парабола

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая х=-р/2, а фокусом – точка

F(р/2; 0), то уравнение параболы имеет вид:

у²= 2рх. (18)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис. 3), р>0.

Уравнение х²= 2ру (19)

является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат. При р 0, параболы (18) и (19) обращены в положительную сторону соответствующей оси, а прир 0 – в отрицательную сторону.

Рис. 3

Задача. Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние фокуса от директрисы равно 10.

Решение. Расстояние фокуса от директрисыр= 10. Подставив в уравнение параболыу²= 2рхзначениер= 10, получим

у²= 20х.

Задача.Найти уравнение директрисы и найти координаты фокуса параболы:

у²= 4х

Решение. Данная парабола симметрична относительно осиОхи расположена справа от осиОу.

Из уравнения находим 2р= 4, откудар= 2.

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оуи отстоящая от последней на расстояниир/2= 1. Следовательно, уравнение директрисы параболы будетх= -1.

Расстояние фокуса от начала координат равно р/2, поэтому абсцисса фокуса будетх= 1.

Итак, фокус находится в точке F(1; 0).