Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Презентации по математике / Лекции 1 семестр / 4. Лекция 6-7 Элементы функционального и комплексного анализа

.doc
Скачиваний:
74
Добавлен:
11.02.2015
Размер:
131.58 Кб
Скачать

Лекция № 6-7 «Элементы теории множеств. Комплексные числа»

Определение. Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что

Запись a + bi называется алгебраической формой комплексного числа z = (a; b). Число адействительная часть, bi - мнимая часть комплексного числа.

Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (а;b). Действительные точки изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами (а;b) соответствует один и только один вектор с началом в точке О (0:0) и концом в точке М (а;b). Поэтому комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде вектора.

Точка М (а;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного комплексного числа.

Определение. Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b = d.

Определение. Комплексные числа, действительные части которых равны, а мнимые противоположны по знаку, называются сопряженными.

Арифметические операции над комплексными числами

  1. Суммой комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называется комплексное число (a+c; b+d).

  2. Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое число и, которое в сумме с числом w даёт число z , т.е. z = w + и.

Справедливо следующее правило

(a; b) – (c; d) = (a – c; b – d).

  1. Произведением комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d)

называют комплексное число (ac – bd; ad + bc)

Полезные формулы:

  1. Частным от деления z на w называют число u, равное:

U

Пример: Вычислить

Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде:

z = r(cosφ + isinφ), где - модуль, а

φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:

(*)

Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2n, где n –любое целое число.

Пример: Записать в тригонометрической форме:

Сначала находим модуль числа:

Далее, согласно формулам (*) ,

имеем:

Учитывая, что угол

Итак:

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

При умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).

(1)

(2)

Пример. Выполнить действия:

Используя формулу (1), находим:

Корень n-й степени из комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле :

(3)

Здесь к = 0, 1, 2, … n-1

Пример. Решить уравнение

Корнями данного уравнения являются все значения

Для числа - 4 имеем r = 4,

Согласно формуле(3),

находим:

Если к = 0, то

Если к = 1, то

При возведении комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную степень n модуль данного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени

- формула Муавра