6. Угол между двумя прямыми

Угол между прямыми y=k₁x+b₁иy=k₂x+b₂определяется по формуле

tg= (k₂–k₁)/(1 +k₂k₁). (9)

7. Условие параллельности прямых

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты, т.е. k₂=k₁.

8. Условие перпендикулярности прямых

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1, т.е. k₂= -1/k₁.

Задача. Определить острый угол между прямымиу= 3х+ 1 иу= -2х– 5.

Решение.Полагаяk₁= 3 иk₂= -2 и применяя формулу (9), получим

tg= (-2–3)/(1+(-2)3)= -5/(-5)= 1, т.е.=/4= 0,785 рад.

Задача. Показать, что прямые 7х+ 3у– 5 = 0 и 14х+ 6у+ 1 = 0 параллельны.

Решение.Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем:

у= (-7/3)х+5/3 иу= (-7/3)х+1/14.

Угловые коэффициенты этих прямых равны: k₁=k₂= -7/3, т. е. прямые параллеьны.

Задача. Показать, что прямые 2х– 3у+ 7 = 0 и 6х+ 4у– 3 = 0 перпендикулярны.

Решение. После приведений уравнений к виду с угловым коэффициентом получаем:

у= (2/3)х+7/3 иу= (-3/2)х+3/4.

Здесь k₁= 2/3,k₂= -2/3. Так какk== -1/k₁, то прямые перпендикулярны.

Задача. Даны вершины треугольникаА(-5; 0),В(-3; -2) иС (-7; 6). Найти уравнение высотыAD.

Решение. Составим уравнение прямойВСпо двум точкам и выпишем её угловой коэффициент

k_ВС=-2.

В силу перпендикулярности прямых ADиBCk_AD= -1/k_ВС, т. е.k_AD= ½.

Уравнение высоты, проведенной из вершины Абудет иметь вид:

у–0= ½(х+5) илих–2у+5= 0.

Лекция №5 «Кривые второго порядка»

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка: ,где а₁₁, а₂₂, а₀ - заданные числа.

Далее мы рассматриваем наиболее простые частные случаи этого уравнения

1. Окружность

Определение. Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки (центра).

Если С(а;b) – центр окружности, аR– радиус окружности, то уравнение окружности имеет вид:

(х–а)²+ (у–b)² =R²(10)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то последнее уравнение примет вид:

х² +у² =R²(11)

Общее уравнение окружности имеет вид:

Ах² +Ау² +D х+Еу +F = 0 (12)

Полезно помнить, что общее уравнение окружности содержит старшие члены х²иу²с равными коэффициентами и отсутствует член с произведениемхнау.

Задача. Определить координаты центра и радиус окружности

2х² + 2у²– 8х + 6у + 12= 0.

Решение. Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим:

х²–4х+у²+3у= -6.

Дополним выражения х²–4хиу²+3удо полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4, а ко второму (3/2)², одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел:

(х²– 4х+ 4) + (у² + 3у+ (3/2)²)= -6 + 4 + 9/4 или (х– 2)² + (у+ 3/2)²= ¼ .

Таким образом, координаты центра окружности а= 2,b= -3/2, а радиус окружностиR= ½.

2. Эллипс

Определение. Эллипсом называют множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рис. 1, а фокусы эллипса находятся на оси Охна равных расстояниях от начала координат в точкахF₁(C; 0) иF₂(-С; 0), то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

х₂/а₂ + у₂/b₂ = 1(13)

Здесь а– большая,b– малая полуось эллипса, причема,b, ис(с– половина расстояния между фокусами) связаны соотношением

b² =а²–с²(14)

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцентриситетом е=с/а(так какса, тое1).

Расстояние некоторой точки эллипса Мот его фокусов называется фокальными радиусами-векторами этой точки. Их обычно обозначаютr₁иr₂(в силу определения эллипса для любой его точкиr₁+r₂= 2а).

В частном случае, когда а=b(с= 0,е= 0), фокусы сливаются в одной точке – центре, эллипс превращается в окружность (с уравнениемх²+у²=а²).

Задача. Написать каноническое уравнение эллипса, если даны его полуосиа= 5 иb= 4.

Решение.Подставляя в уравнение (13)а²= 25,b²= 16, получим каноническое уравнение эллипсах²/25 +у²/16= 1.

Задача. Написать уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5.

Решение. Зная, чтоа=5 и 2с= 6, найдем малую полуось эллипса из соотношенияb²=a²–c, т. е.b²= 25 – 9= 16.

Уравнение эллипса: х²/25+у²/16= 1.