Презентации по математике / Лекции 1 семестр / 5. Функция.Лекция 8 Непрерывность функции. Предел функции

Лекция № 8 « Функция. Предел функции»

1. Понятие числовой функции

Пусть задано числовое множество Х. Правило, сопоставляющее каждому числу х из множества Х единственное действительное число у, называют

числовой функцией, заданной на множестве Х.

х - независимая пере­менная (аргумент);

у - зависимая переменная (функция).

Символическая запись функции имеет вид у = f(х)

Множество Х называется областью определения функции у и обозначается D(у). Е(у) - область (множество) значений функции у – множество всех значений переменной у, которые она принимает при всех допустимых значениях х.

2. Четность функции

Функция у = f(х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функ­ции, значение -х также принадлежит области определения и вы­полняется равенство f(х) = f(-х).

Согласно определению, четная функция определена на мно­жестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 1).

Рис. 1. График четной функции

Примеры четных функций:

Функция у = f(х) называется нечетной, ес­ли для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принадлежит области опреде­ления и выполняется равенство f(x)= -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

Примеры нечетных функций:

Рис. 2. График нечетной функции

При построении графиков четных и нечетных функций доста­точно построить только правую ветвь графика — для положи­тельных значений аргумента. Левая ветвь достраивается сим­метрично относительно оси оy для четной функции и кососимметрично (т. е. симметрично относительно начала координат) для нечетной.

Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Таковы, например, функции:

3. Периодичность

Функция у=f(х) называется периодической с периодом , если при всех значениях х из области её определения выполняются равенства .

Если Т – период функции, то при любом \ число также является периодом функции.

Наименьший положительный период функции называется её основным периодом.

Сумма, разность, произведение и частное двух функций, имеющих период Т, обладает тем же периодом.

Сумма n периодических функций с периодами имеет период . Если функция у = f(х) имеет период Т, то функция имеет период .

4. Нули функции

Нулем функции называется такое дей­ствительное значение х, при котором значение функции равно нулю.

Для того чтобы найти нули функции, следует решить уравне­ние f(х)=0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции у=f(х), и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пе­ресекает ось абсцисс, либо касается ее. Например, функция у = х³- 3x имеет ну­ли в точках х = 0, , , а функция имеет нуль в точке х = 2.

Функция может и не иметь нулей. Такова, например, функция

II. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1. Понятие предела функции

Число А называется пределом функции в точке х₀ (или при хх₀), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех хх_0, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначают

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если или .

3. Теоремы о пределах

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел ;

4. Односторонние пределы

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х₀ существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции y= f(x) слева в точке х₀, если для любого числа существует число такое, что при х выполняется неравенство . Предел слева записывают так: или коротко: (обозначение Дирихле).

Аналогично определяется предел функции справа. Число А₂ называется пределом функции y= f(x) справа в точке х₀, если для любого числа существует число такое, что при х выполняется неравенство . Предел справа записывают так: . Коротко предел справа обозначают f(x_o+0)=A₂.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

III. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при :

.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

.

Теорема: Функция y= f(x) непрерывна в точке x₀, тогда и только тогда, когда функция имеет конечные пределы в точке x₀ и предел функции в точке x₀ равен значению функции в этой точке.

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1. область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения;

2. элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках;

3. элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е и . При этом:

а) если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва(рис.6) ; б) если , то точка х₀ называется точкой конечного разрыва( рис.7). Величину называют скачком функции

Рис. 6. График функции с устранимым разрывом

Рис. 7. График функции с конечным разрывом

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2-го рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен ∞ (рис.8).

Рис. 8. График функции с точкой разрыва 2-го рода

IV. АСИМПТОТЫ КРИВОЙ

Прямая называется асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки М(x;y) до этой прямой стремится к 0 при стремлении хотя бы одной из координат к ∞

Вертикальные асимптоты. График функции при имеет вертикальную асимптоту, если или ; при этом точка есть точка разрыва II-го рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид .

Горизонтальные асимптоты. График функции при или при имеет горизонтальную асимптоту, если или . Может оказаться, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного. Тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид (рис. 9).

Рис. 9. Графики функций, имеющие горизонтальные асимптоты

Наклонные асимптоты. Если существуют пределы и , то прямая y=kx+b является наклонной асимптотой кривой при указанном стремлении x. При x→ асимптоты могут быть различны.