Презентации по математике / Лекции 1 семестр / 7.Лекция 11 Приложения производной. Исследование функции

Лекция № 11 «Приложения производной к исследованию функции»

Монотонность функции.

Переменную величину называют монотонной, если она из­меняется только в одном направлении, т.е. либо только возрас­тает, либо только убывает. Очевидно, что движение точки х в сторону положительного направления оси абсцисс является мо­нотонно возрастающим, а в противоположную сторону - монотонно убывающим.

Функция у = f(х) называется монотонно воз­растающей на интервале (а, b), если для любых х₁, и х₂, при­надлежащих этому интервалу, из неравенства х₂ > х₁, следует неравенство f(х₂) > f(x₁) (рис. 3а).

Функция у = f(х) называется монотонно убывающей на интервале (а, b), если для любых х₁ и х₂, принад­лежащих этому интервалу, из неравенства х₂ > х₁, следует нера­венство f(x₂) < f(x₁) (рис. 3б).

Рис. 3. Графики монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций.

Естественно, что интервал (а, b) предпола­гается взятым из области определения функции.

Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Если функция у =f(х) дифференцируема на интервале и для всех (при этом может быть равна 0 в отдельных точках промежутка ), то функция возрастает на ; а если (или равна 0 в отдельных точках промежутка ), то функция убывает на этом интервале. Если для всех , то f(х)=const на этом интервале.

Экстремумы функции

Пусть функция у = f(х) определена на отрез­ке [а;b]. Говорят, что функция у = f(х) имеет локальный макси­мум в точке х₀ є [а;b], если существует окрестность точки х₀, целиком содержащаяся в [а;b ] и такая, что для любого х, при­надлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х) < f(х₀).

Под окрестностью точки х₀ понимают интервал длины 2 с центром в точке х₀, т.е. (х₀-, х₀+), где  - произвольное по­ложительное число

Говорят, что функция у = f(х) имеет локальный минимум в точке х₀ є[а;b], если существует окрестность точки х₀, целиком содержащаяся в [а;b] и такая, что для любого х, принадлежаще­го этой окрестности, выполняется неравенство f(х) > f(х₀).

Достаточный признак экстремума функции. Критическая точка (внутренняя точка области определения функции, в которой производная этой функции равна нулю или не существует) является точкой экстремума функции, если в окрестности этой точки производная меняет знак, причем точкой максимума, если производная меняет знак с «+» на «-», и точкой минимума, если производная меняет знак с «-» на «+».

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции у = f(х) на отрезке [а;b ]достигается либо в одной из критических точек, либо в одной из граничных точек данного отрезка.

Выпуклость функции

Говорят, что функция у = f(х) выпукла вверх в точке х₀, если существует окрестность точки х₀ такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке М₀(х₀, у₀) лежит выше графика (рис. 4а). Говорят, что функция у = f(х) выпукла вниз в точке х₀, если существует окрестность точки х₀ такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции а точке М₀(х₀; у₀) лежит ниже графика (рис. 4б).

Если на некотором промежутке (а;b) все касательные к гра­фику функции у = f(х) лежат выше (соответственно ниже) самого графика, то на данном промежутке функция выпукла вверх (со­ответственно выпукла вниз).

Рис. 4. Графики выпуклой функции

Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба

Достаточное условие выпуклости функции на интервале. Если вторая производная f"(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:

1) при f"(х) > 0 (знак + ) функция f(х) выпукла вниз на интер­вале (а;b);

2) при f"(х) < 0 (знак - ) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).

Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции нужно найти вторую произ­водную и решить неравенства f"(х) < 0 и f"(х) > 0.

Точка М₀(х₀; f(х₀)) графика функции у = f(х) на­зывается точкой перегиба этого графика, если существует та­кая окрестность точки х₀, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М₀ имеет разные направления вы­пуклости.

На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М₀(х₀; f(х₀)).

Рис. 5. График функции, имеющей перегиб

Необходимый признак существования точки перегиба. Если функция в точке х₀ имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос ре­шается с помощью следующего признака.

Достаточный признак существования точки перегиба. Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производ­ная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f"(х) < 0 при х <х₀ и f"(х) > 0 при х > х₀ или f"(х) > 0 при х < х₀ и f"(х) < 0 при х > х₀, то М₀(х₀, (f(х₀)) является точкой перегиба кривой у = f(х).

Образцы исследования функций

1.

1. D(y)=R , E(y)=R

2. Непрерывность. Асимптоты. Так как функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, т.е. на всей числовой прямой. Выясним поведение функции на концах области определения.

Асимптот нет.

3. Четность. Так как область определения функции симметрична относительно нуля, выясним, имеют ли место следующие равенства:

или .

. Следовательно, функция является нечётной. Её график симметричен относительно начала координат.

4. Функция не является периодической.

5. Нули функции

или

(0;0); - точки пересечения графика с осями.

6. Монотонность функции. Экстремумы функции.

x=0 ,

x				0
y`	+	0	_	0	_	0	+
y				0		-0,007

max min

7. Выпуклость. Точки перегиба.

x=0 или

x				0
	_	0	+	0	_	0	+
y		0,004		0		-0,004

т. перегиба т. перегиба т. перегиба

8. График

2.

1)

2) Непрерывность. Асимптоты. Данная функция определена при всех значениях , кроме . Так как функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка . Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при .

.

.

Следовательно, функция в точке имеет бесконечный разрыв, т.е. - точка разрыва II-го рода. - вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты.

Итак, и . Следовательно, при и при график функции имеет наклонную асимптоту .

3) Четность. Область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Функция общего вида.

4) Функция не является периодической.

5) Нули функции. y=0 , если x²-x=0; x(x-1)=0; x₁=0 или x₂=1

(0; 0), (1; 0) – точки пересечения графика с осями координат.

6) Монотонность. Точки экстремума.

, если 2x²+2x-1=0

2x²+2x-1=0

D=4+8=12

x
	+	0	_	-	_	0	+
y				-		-0,13

max min

7) Выпуклость. Точки перегиба.

не существует при

x
	_	-	+
y		-

Точек перегиба нет

8) График

x		-3
	-	0	+
y

3.

1) D(y)=R

2) Непрерывность. Асимптоты. Функция непрерывна на всей числовой прямой. Точек разрыва нет. Следовательно, вертикальных асимптот нет.

Исследуем поведение функции на концах области определения.

При . Следовательно, при функция имеет горизонтальную асимптоту

3) Четность. Область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Функция общего вида.

4) Функция не является периодической.

5) Нули функции. y=0, если x=-1

Если x=0, то

- точки пересечения с осями.

6) Монотонность. Экстремумы функции.

, если x = -2 - критическая точка

x		-2
	_	0	+
y

min

7) Выпуклость. Точки перегиба.

, если x=-3

x		-3
	_	0	+
y

т. перегиба

8) График