Элементы аналитической геометрии

Лекция №4. «Прямоугольные координаты на плоскости.

Уравнение прямой»

Прямоугольные координаты на плоскости

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат xOy, то точку М этой плоскости, имеющую координаты x и y, обозначают М (x; y).

Расстояние d между М₁ (x₁; y₁) и М₂ (x₂; y₂) определяется по формуле:

(1)

В частности, расстояние d точки М(x; y) от начала координат определяется по формуле:

Координаты точки М(x; y), делящей в заданном отношении  отрезок между двумя точками А (x₁; y₁) и В (x₂; y₂), определяется по формулам:

x = (x₁+x₂) /(1+) ; y = (y₁+y₂)/(1+) (2)

В частности, при  = 1 получаем формулы для координат середины отрезка:

х = (х₁+x₂)/2; y = (y₁+y₂)/2 (3)

II. Прямая на плоскости

1. Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первой степени, относительно хиу, т.е. уравнение вида:

Ах+Ву+С= 0, (4)

где А, ВиСпостоянные коэффициенты, причемА²+В²0, определяет на плоскости некоторую прямую.

Определение. Геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнениюАх+Ву+С= 0, называетсяпрямой.

Уравнение Ах+Ву+С= 0 называетсяобщим уравнением прямой.

Частные случаи:

1. С=0;А0,В0. Прямая, определяемая уравнениемАх+Ву= 0, проходит через начало координат.

2. А=0;В0,С0. Прямая, определяемая уравнениемВу+С= 0, параллельна осиОх.

3. В=0,А0,С0. Прямая, определяемая уравнениемАх+С= 0, параллельна осиOу.

4. В=С=0;А0. Прямая, определяемая уравнениемАх= 0, совпадает с осьюОу.

5. А=С=0;В0. Прямая, определяемая уравнениемВу= 0, совпадает с осьюОх.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в общем уравнении прямой В0, то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида

y = kx+b, (5)

(здесь k= -A/B,b = -С/В). Его называютуравнением с угловым коэффициентом, посколькуk = tg, гдеугол, образованный прямой с положительным направлением осиОх. Свободный член уравнения bравен ординате точки пересечения прямой с осьюОу.

3. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку м(х0;у0) в заданном направлении

(6)

4. Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой С0, то разделив все его члены на С, получим уравнение вида

x/a+y/b= 1, (7)

где а= -С/А,b= -С/В. Его называютуравнением прямой в отрезках. В нема является абсциссой точки пересечения прямой с осьюОх, аb– ординатой точки пересечения прямой с осьюОу. Поэтомуаиbназывают отрезками прямой на осях координат.

5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

(8)

Задача. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезокb = -2 и имеющей угловой коэффициентk= 3.

Решение. Применяя формулу (5), запишем уравнение искомой прямой:

у= 3х–2.

Задача. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезкиа= 2,5 иb= 1,5.

Решение.Воспользовавшись формулой (7) имеем:х/2,5+у/1,5= 1.

Приведем это уравнение к общему виду: 2/5х+2/3у= 1 или 6х+10у–15= 0

Задача. Дано общее уравнение прямой 2х– 5у+ 10 = 0. Написать: 1) уравнение с угловым коэффициентом; 2) уравнение в отрезках. Построить прямую.

Решение. 1) Разрешив уравнение относительно у, получим уравнение с угловым коэффициентом:

5у= 2х+10 илиу= 2/5х+2.

Здесь k= 2/5; b= 2.

2) Перенесем свободный член уравнения в правую часть и разделим обе части на (-10), имеем:

2х/-10+5у/10= 1.

Здесь а= -5;b= 2.

у

2

. .

-5 -2 2 х

Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точкуМ(-1; 5).

Решение. Воспользуемся формулой (8)

- общее уравнение прямой.

Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точкиА(2; -3)

и В(-4; 5).

Решение.Применяя формулу (8) и подставляях₁= 2,у₁= -3,х₂= -4,у₂= 5, получим (у–(-3))/(5–(-3))= (х–2)/(-4–2) или (у+3)/8= (х–2)/(-6), 4(х–2)= -3(у+3).

Искомое уравнение имеет вид 4х+3у+1= 0.

Задача. Даны вершины треугольникаА(-1; 1),В(5; 7), С (-9; 3). Найти уравнения медианАD,BE,CN.

Решение. Найдем сначала координаты точкиD– середины стороныВС по формуле (3):

х= (5–9)/2= -2;у= (7+3)/2= 5, т. е.D(-2; 5).

Уравнение медианы ADнаходится с помощью уравнения прямой, проходящей через две точки, формула (8):

(у–1)/(5–1)= (х+1)/(-2+1) или (у–1)/4=(х+1)/(-1), т. е. 4х+у+3= 0.

Уравнения медиан ВЕиCNпредполагается студенту найти самостоятельно.