- •Методические указания
- •Для решения контрольной и самостоятельной работы
- •По разделу математики
- •«Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •I. Элементы теории вероятностей
- •1.1. Случайные величины. Вероятность случайного события
- •1.2.Теоремы сложения, умножения вероятностей
- •1.3 .Формула полной вероятности. Формула Бейеса
- •Формула Бейеса. (формула гипотез)
- •1.4. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Муавра-Лапласа
- •Интегральная форма Лапласа
- •1.5. Интегральная функция распределения
- •1.6. Дифференциальная функция распределения
- •1.7. Равномерное распределение непрерывной случайной величины
- •1.8.Числовые характеристики случайных величин
- •1.7. Нормальный закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •2.Элементы математической статистики
- •I. Выборки и их характеристики
- •1.1. Выборочный метод и способы составления выборок
- •1.2. Статистическое распределение и его геометрическое изображение
- •Алгоритм составления дискретного статистического распределения:
- •Гистограмма и полигон плотности относительных частот
- •1.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •1.4.Статистические оценки параметров распределения. Доверительные интервалы
- •1.5. Статистическая проверка статистических гипотез
- •II Элементы корреляционного анализа
- •2.1. Статистическая зависимость случайных величин. Уравнения регрессии.
- •2.2. Корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции.
- •1) Метод квадратов
- •2) Ранговый метод
- •2.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного
- •Разбор типовых задач Тема: Формула вероятности события
- •Тема: формула полной вероятности
- •Тема :случайная величина и ее числовые характеристики числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Тема:Функции распеределения
- •Тема: Элементы статистической обработки данных
- •Тема :понятие о корреляционной зависимости
- •Вопросы для самопроверки Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Повторные независимые испытания
- •Случайная величина и ее числовые характеристики
- •Основные сведения из математической статистики Вопросы для самопроверки
- •Понятие о корреляционной зависимости Вопросы для самопроверки
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задания для самостоятельной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики »
- •Задания для контрольной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Контрольная работа «Статистическое оценивание данных»
- •Вариант – 1
- •Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по л.С. Каминскому)
- •Литература
2.Элементы математической статистики
I. Выборки и их характеристики
1.1. Выборочный метод и способы составления выборок
Математическая статистика – это наука, занимающаяся разработкой методов сбора, регистрации и обработки результатов наблюдений (измерений) с целью познания закономерностей случайных явлений массового характера.
Совокупность предметов или явлений, имеющих какие-либо общие свойства как качественные, так и количественные, называется объектом наблюдения.
Статистические данные – это числовая информация о том, какие значения принимают единицы измерения.
Задачами математической статистики в зависимости от поставленной цели являются:
1. Приближенное определение закона распределения случайной величины.
2. Вычисление параметров распределения.
3. Оценка достоверности параметров распределения и правдоподобие гипотез распределения.
Вся исследуемая совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью.
Выборочная совокупность – это часть элементов генеральной совокупности, отобранных случайным образом с целью исследования.
Объём совокупности (генеральной или выборки) – это число входящих в неё объектов n .
Выборочный метод статистики заключается в том, что в результате исследования объектов выборки, делают заключение о генеральной совокупности. Объясняется это тем, что для генеральной совокупности исследование может быть:
1. Трудоемким с большими затратами средств.
2. Практически не осуществимым.
3. Неограниченным во времени.
4. Частично разрушающим или уничтожающим все объекты наблюдения.
Существуют два основных способа составления выборки:
1. Повторный, когда один и тот же объект может попасть под наблюдение более одного раза.
2. Бесповторный, когда каждый выбранный объект не возвращается в генеральную совокупность.
Первый способ можно рассматривать как независимые испытания, а второй – как зависимые.
1.2. Статистическое распределение и его геометрическое изображение
Статистическая информация – это ряд значений, записанных в той последовательности, в которой они были получены.
Количественный признак объекта генеральной совокупности обозначают X,Y,Z…
Соответствующие возможные значения объекта – xi , yi , zi … (варианты).
Частота – это число ni объектов с одинаковыми количественными признаками.
Перечень вариантов и соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.
Ряд в котором значения случайной величины записаны в порядке возрастания или убывания, называется ранжированным.
Распределения могут быть дискретными (все значения изолированы друг от друга) и интервальными (все значения заполняют некоторый интервал).
Алгоритм составления дискретного статистического распределения:
1. Определяют наибольшее Хmax и наименьшее Хmin значения.
2. Ранжируют ряд.
3. Подсчитывают частоты каждого значения признака.
4. Составляют дискретный вариационный ряд в виде таблицы
Х |
Х1 |
Х2… |
Хn |
ni |
n1 |
n2… |
n |
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности отдельных значений случайной величины, называется законом распределения случайной величины.
Закон может быть задан в виде таблицы распределения
X |
X1 |
X2 |
… |
Xn |
P |
P1 |
P2 |
… |
Pn |
Дискретный вариационный ряд графически представляют полигоном распределения частот или относительных частот
Интервальный вариационный ряд графически представляют гистограммой.
Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi;ni)
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению
или
Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то получите полигон того же распределения.