- •Методические указания
- •Для решения контрольной и самостоятельной работы
- •По разделу математики
- •«Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •I. Элементы теории вероятностей
- •1.1. Случайные величины. Вероятность случайного события
- •1.2.Теоремы сложения, умножения вероятностей
- •1.3 .Формула полной вероятности. Формула Бейеса
- •Формула Бейеса. (формула гипотез)
- •1.4. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Муавра-Лапласа
- •Интегральная форма Лапласа
- •1.5. Интегральная функция распределения
- •1.6. Дифференциальная функция распределения
- •1.7. Равномерное распределение непрерывной случайной величины
- •1.8.Числовые характеристики случайных величин
- •1.7. Нормальный закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •2.Элементы математической статистики
- •I. Выборки и их характеристики
- •1.1. Выборочный метод и способы составления выборок
- •1.2. Статистическое распределение и его геометрическое изображение
- •Алгоритм составления дискретного статистического распределения:
- •Гистограмма и полигон плотности относительных частот
- •1.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •1.4.Статистические оценки параметров распределения. Доверительные интервалы
- •1.5. Статистическая проверка статистических гипотез
- •II Элементы корреляционного анализа
- •2.1. Статистическая зависимость случайных величин. Уравнения регрессии.
- •2.2. Корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции.
- •1) Метод квадратов
- •2) Ранговый метод
- •2.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного
- •Разбор типовых задач Тема: Формула вероятности события
- •Тема: формула полной вероятности
- •Тема :случайная величина и ее числовые характеристики числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Тема:Функции распеределения
- •Тема: Элементы статистической обработки данных
- •Тема :понятие о корреляционной зависимости
- •Вопросы для самопроверки Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Повторные независимые испытания
- •Случайная величина и ее числовые характеристики
- •Основные сведения из математической статистики Вопросы для самопроверки
- •Понятие о корреляционной зависимости Вопросы для самопроверки
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задания для самостоятельной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики »
- •Задания для контрольной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Контрольная работа «Статистическое оценивание данных»
- •Вариант – 1
- •Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по л.С. Каминскому)
- •Литература
Основные сведения из математической статистики Вопросы для самопроверки
Что понимается под генеральной совокупностью?
Что такое выборка, объем выборки? Как обеспечивается представительность выборки?
Как получают повторную и бесповторную выборки?
Перечислите способы отбора статистического материала.
Что такое частота появления варианты в выборке?
Как получают относительную частоту варианты в выборке?
Как получают вариационный ряд распределения?
Как графически изображают вариационные ряды?
Как построить многоугольник распределения относительных частот?
10.Как построить гистограмму распределения плотностей относительных частот?
11.Дайте определение моды и медианы выборки.
Понятие о корреляционной зависимости Вопросы для самопроверки
1.В чем состоит различие между функциональной и статистической зависимостью между случайными величинами?
Опишите форму корреляционной таблицы.
В чем состоят две основные задачи корреляционного анализа?
Какую корреляционную зависимость называют линейной?
Запишите выборочные уравнения прямых регрессии. Дайте определение выборочного коэффициента корреляции и перечислите его основные свойства.
Что следует сказать о зависимости двух случайных величин, если коэффициент корреляции равен нулю? Если коэффициент корреляции ранен единице? Если коэффициент корреляции ранен минус единице?
В чем суть метода наименьших квадратов для определения параметров линии регрессии?
Статистические оценки параметров распределения
Вопросы для самопроверки
В чем сущность задачи по определению параметров генеральной совокупности? В чем особенность этой задачи?
Как вычисляется средняя арифметическая выборки при малых и больших ее объемах?
Как вычисляется дисперсия выборки в случаях малого и большого ее объемов?
Какую величину принимают за среднюю генеральной совокупности?
Какую величину принимают за дисперсию генеральной совокупности?
Что понимают под доверительным интервалом и доверительной вероятностью?
Как вычисляют среднее квадратическое отклонение средней выборки?
Какова вероятность попадания генеральной средней в интервал размером ±2 (±3) средних квадратических отклонения средней выборки при нормальном распределении?
Если доверительная вероятность будет увеличена, то как изменится доверительный интервал при других равных условиях?
Что надо сделать с объемом выборки, чтобы уменьшить доверительный интервал при том же значении доверительной вероятности?
Задания для самостоятельной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики »
I
1. В одной из групп 2/3 студентов занимаются на хорошо и отлично. Определить вероятность того, что из пяти наугад взятых студентов на хорошо и отлично учатся: а) два студента; б) не более двух студентов.
2. В некоторых условиях вероятность своевременного прибытия поезда на станцию равна 0,8. Какова вероятность того, что из четырех ожидаемых поездов своевременно прибудут: а) два поезда; б) не менее двух поездов?
3. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле в некоторых условиях равна 0,4. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах: а) не будет ни одного попадания; б) будет не менее трех попаданий.
4. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что из шести посеянных семян взойдут: а) пять семян; б) не более двух семян.
5. Вероятность выполнения плана каждым из пяти независимых между собой хозяйств равна 0,5. Найти вероятность того, что план выполнят: а) пять хозяйств; б) не менее трех хозяйств.
6-10. Школьники посадили на школьном участке n деревьев. Вероятность того, что каждое дерево приживется, равна p. Найти вероятность того, что приживется m деревьев. Данные приведены в таблице.
Номера задач |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n p m |
600 0,4 210 |
400 0,9 348 |
225 0,8 171 |
400 0,5 178 |
196 0,5 84 |
II
1-5. Птицеферма отправила на базу n штук яиц. Вероятность того, что каждое яйцо повредится в пути, равна p. Найти вероятность того, что на базу прибудут m непригодных яиц. Данные приведены в таблице.
Номера задач |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
n p m |
5000 0,0002 2 |
1000 0002 3 |
2500 0,0004 3 |
4000 0,00025 1 |
10000 0,0004 3 |
6-10. На опытной станции посажено n семян кукурузы. Всхожесть семян равна p. Найти вероятность того, что из посеянных семян число взошедших от до. Данные приведены в таблице.
Номера задач |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n p
|
600 0,6 348 372 |
400 0,8 328 344 |
450 2/3 280 320 |
100 0,8 78 90 |
600 0,4 210 270 |
Ш
Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:
Х |
1 |
2 |
3 |
Р |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
и построить ее график. 2. Средняя продолжительность срока реализации товара (в часах) имеет следующую плотность распределения: φ(х)=Вычислить: а) вероятность того, что товар будет реализован позднее 150 часов; б) вероятность того, что товар будет реализован позднее 200 часов и в то же время не позднее 300 часов. 3.Дискретная случайная величинаХ, имеющая смысл числа курьеров, задействованных для доставки корреспонденции в коммерческой организации, задана законом распределения:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
Р |
0,4 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. 4 . Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
5. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х
Требуется найти:
график F(x),
плотность f(x),
график f(x),
математическое ожидание М(Х),
дисперсию D(Х),
среднее квадратическое отклонение σ,
Р(Х < –2), P( ≤ Х < 1) P(Х ≥ ).
6. Случайная величина — число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения — числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения ?
7. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a=0, =2. Определить: 1) ; 2) ;
8. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы
.
9.Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х |
1 |
3 |
6 |
8 |
Р |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Построить многоугольник распределения.
10. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Х |
–5 |
2 |
3 |
4 |
Р |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
IV
В задачах 1-10 заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти: а) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β); б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х- а окажется меньше ɛ.
1. а=15 σ=2 α=9 β=19 ɛ=3
2. а=14 σ=4 α=10 β=20 ɛ=4
3. а=13 σ=4 α=11 β=21 ɛ=8
4. а=18 σ=5 α=8 β=23 ɛ=10
5. а=12 σ=5 α=12 β=22 ɛ=5
6. а=11 σ=4 α=15 β=19 ɛ=6
7. а=10 σ=8 α=14 β=18 ɛ=2
8. а=9 σ=2 α=7 β=15 ɛ=3
9. а=8 σ=4 α=8 β=12 ɛ=8
10. а=16 σ=5 α=11 β=21 ɛ=4
V
В задачах 31-40 вычислить выборочный коэффициент корреляции двух случайных величин Х и У и найти выборочное уравнение прямой регрессии У на Х. Данные взять из таблицы.
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 | |||||||||||
х |
у |
х |
у |
х |
у |
х |
у |
х |
у |
х |
у |
х |
у |
х |
у |
х |
у |
х |
у | |
28 27 28 27 29 26 28 28 29 30 |
29 29 28 28 29 28 32 30 28 29 |
24 25 23 24 20 24 23 21 23 23 |
18 19 18 19 20 19 19 21 19 18 |
24 25 21 23 20 23 24 24 23 23 |
20 21 19 19 19 18 19 18 19 18 |
47 49 43 46 41 46 49 48 45 46 |
40 42 38 38 37 36 39 35 37 38 |
18 16 17 20 20 20 21 22 23 23 |
22 23 21 27 26 28 32 32 32 37 |
28 16 32 20 24 24 28 36 12 20 |
15 22 15 21 22 18 17 14 25 21 |
33 30 24 12 30 33 21 24 18 15 |
36 32 24 12 36 28 24 20 16 12 |
24 25 21 23 23 20 24 24 23 23 |
15 14 22 21 18 25 15 21 17 22 |
34 35 31 27 23 19 15 11 8 7 |
13 13 18 23 25 30 33 35 37 33 |
22 23 24 25 25 23 18 21 19 20 |
25 30 30 30 35 25 25 20 20 20 |