- •Методические указания
- •Для решения контрольной и самостоятельной работы
- •По разделу математики
- •«Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •I. Элементы теории вероятностей
- •1.1. Случайные величины. Вероятность случайного события
- •1.2.Теоремы сложения, умножения вероятностей
- •1.3 .Формула полной вероятности. Формула Бейеса
- •Формула Бейеса. (формула гипотез)
- •1.4. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Формула Пуассона
- •Локальная формула Муавра-Лапласа
- •Интегральная форма Лапласа
- •1.5. Интегральная функция распределения
- •1.6. Дифференциальная функция распределения
- •1.7. Равномерное распределение непрерывной случайной величины
- •1.8.Числовые характеристики случайных величин
- •1.7. Нормальный закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •2.Элементы математической статистики
- •I. Выборки и их характеристики
- •1.1. Выборочный метод и способы составления выборок
- •1.2. Статистическое распределение и его геометрическое изображение
- •Алгоритм составления дискретного статистического распределения:
- •Гистограмма и полигон плотности относительных частот
- •1.3. Числовые характеристики вариационного ряда
- •1.4.Статистические оценки параметров распределения. Доверительные интервалы
- •1.5. Статистическая проверка статистических гипотез
- •II Элементы корреляционного анализа
- •2.1. Статистическая зависимость случайных величин. Уравнения регрессии.
- •2.2. Корреляционная зависимость. Коэффициент корреляции.
- •1) Метод квадратов
- •2) Ранговый метод
- •2.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного
- •Разбор типовых задач Тема: Формула вероятности события
- •Тема: формула полной вероятности
- •Тема :случайная величина и ее числовые характеристики числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Тема:Функции распеределения
- •Тема: Элементы статистической обработки данных
- •Тема :понятие о корреляционной зависимости
- •Вопросы для самопроверки Основные понятия теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Повторные независимые испытания
- •Случайная величина и ее числовые характеристики
- •Основные сведения из математической статистики Вопросы для самопроверки
- •Понятие о корреляционной зависимости Вопросы для самопроверки
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задания для самостоятельной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики »
- •Задания для контрольной работы по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики»
- •Контрольная работа «Статистическое оценивание данных»
- •Вариант – 1
- •Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по л.С. Каминскому)
- •Литература
1.7. Равномерное распределение непрерывной случайной величины
Закон равномерного распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется при имитационном моделировании сложных систем на ЭВМ как первоначальная основа для получения всех необходимых статистических моделей. При этом, если специально не оговорен закон распределения случайных чисел, то имеют ввиду равномерное распределение.
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале (a,b), которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция распределения имеет постоянное значение, т. е. f(x) = C.
Так как
то
Отсюда закон равномерного распределения аналитически можно записать так:
График дифференциальной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис.5
Рис. 5 График дифференциальной функции равномерного распределения вероятностей.
Интегральную функцию равномерного распределения аналитически можно записать так:
График интегральной функции равномерного распределения вероятностей представлен на рис. 6
Рис. 6 График интегральной функции равномерного распределения вероятностей.
1.8.Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится пользоваться, так называемыми, числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся:
1.математическое ожидание M;
2.дисперсия D;
3.среднее квадратичное отклонение.
Математическое ожидание дискретной случайной величины X – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b] – это определенный интеграл
Математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) есть неслучайная (постоянная) величина. Она характеризует среднее значение случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1.M(C)=C – математическое ожидание константы равно самой константе
2.
3.
4.M(X+Y)=M(X)+M(Y)
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение – это числовые характеристики случайной величины, которые позволяют оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Отклонением называют разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, т. е.
Пусть закон распределения дискретной случайной величины известен:
Так как одни возможные отклонения положительны, а другие отрицательны, то математическое ожидание отклонения обладает важным свойством:
M(X – M(X))=0, т.е. математическое ожидание отклонения всегда равно нулю.
Поэтому для оценки рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания вычисляют квадрат отклонения случайной величины.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Для дискретной случайной величины: D(X) = M(х – M(X))2
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой: D(X)=M(X2)–(M(X))2, т. е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.
Для непрерывной случайной величины:
В последнем выражении все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b).
Дисперсия случайной величины (как дискретной, так и случайной) есть неслучайная величина (постоянная величина).
Свойства дисперсии:
1. D (C) = 0
2. D (CX) = С2 D (X)
3. D (X+Y) = D (X) + D (Y),
4. D (C+X) = D (X),
5. D (X-Y) = D (X) – D (Y).
Если равномерно распределенная случайная величина задана в интервале [a,b], то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны: