2.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного

коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность (X;Y) распределена нормально, из той совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_в, который оказался отличным от нуля. Т.к. выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент генеральной совокупности r_в также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу: Н₀о равенстве генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н₁.

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (кратко говоря, значим), а X и Y коррелированны, т.е. связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y некоррелированны, т.е. не связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

Величина T при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы.

Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид , критическая область –двусторонняя.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через T_набл. и сформулируем правило проверки гипотезы.

Правило. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезеН₁, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k = n – 2 найти критическую точку t_кр. (α, k) для двусторонней критической области.

1. Если |T_набл.|<t_кр. – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

2. Если |T_набл.|>t_кр. – нулевую гипотезу отвергают.

Разбор типовых задач Тема: Формула вероятности события

Задание № 1. В конверте 9 фотокарточек. Среди них 5 нужных. Наугад извлечены 4 карточки. Найти вероятность того, что среди них только 2 нужные.

Введем в рассмотрение событие А – среди 4 извлеченных карточек только две нужные.

Вероятность этого события вычисляется по формуле вероятности

P(A)=(1)

Где -число всех равновозможных исходов события, а - число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Для нахождения и необходимо вспомнить такое понятие из теории соединений, как «Сочетания».

Определение: пусть имеется п элементов. Сочетанием называются наборы (соединения), составленные из этих элементов по m элементов в каждом наборе, которые отличаются хотя бы одним из элементов (0 )

Число всех возможных сочетаний обозначается и вычисляется согласно формулам:

(2), или (3), где в числителеm сомножителей.

m!= (эм-факториал)

n!=,)n-m)!=1(n-m)

в частности,

кроме того,

эта формула полезна в случае использования формулы (3), когда <m.

В нашем задании число всех возможных исходов «п» равно числу способов извлечь из 9 карточек 4, т.е.

Число способов извлечь из 5-ти нужных только две нужные есть .

Число способов извлечь из четырех ненужных (9-5) только 2 ненужных (4-2) есть .

Тогда число благоприятствующих исходов есть произведение .

Подставляем ив (1):

P(A)=.

для получения точного ответа дробь нужно сократить, после чего

Ответ: .

При решении подобных задач удобно пользоваться таблицей:

	Всего предметов	Стандартные предметы	Нестандартные предметы
было	N	n	N-n
Отобрано	m	к	m-k

Тогда P(A)=(4)

Полезно помнить правило: числа N и m из 1-го столбца составляют индексы в знаменателе дроби ( 4 ), а числа из 2-го и 3-го столбцов – в числителе, причем числа из 1-ой строки стоят везде в нижних индексах чисел сочетаний, а числа из 2-ой строки – в верхних.

Задание № 2. В конверте 12 денежных купюр. Среди них 4 фальшивых. Наугад извлечены 4 купюры. Какова вероятность того, что все они фальшивые?

Введем в рассмотрение событие А – все 4 извлеченные купюры фальшивые. Вероятность этого события вычислим по формуле (4) из задания №1.

Предварительно составим таблицу данных:

	Всего купюр	Фальшивые	Нефальшивые
Было	12	4	8
Извлечено	4	4	0

Тогда согласно правилу из задания №1 (вариант №1)

Ответ: