- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Линейные электрические цепи постоянного тока
- •Основные понятия об электрических цепях
- •Напряжение на участке электрической цепи
- •Потенциальная диаграмма
- •Закон Ома
- •Законы Кирхгофа
- •1.6. Режимы работы электрической цепи
- •1.7. Энергетический баланс в электрических цепях
- •1.8. Понятие об электрических источниках напряжения и источниках тока
- •1.9. Расчёт электрических цепей с одним источником эдс методом эквивалентных преобразований
- •1.9.1. Последовательное соединение резисторов
- •1.9.2. Параллельное соединение резисторов
- •1.9.3. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно
- •Методы расчёта электрических цепей с несколькими источниками эдс
- •1.10.1. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники эдс, одной эквивалентной ветвью
- •1.10.2. Метод двух законов Кирхгофа
- •1.10.3. Метод контурных токов
- •1.10.4. Метод узловых потенциалов
- •1.10.5. Метод наложения
- •1.11. Активный и пассивный двухполюсники
- •1.12. Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)
- •2 . Определение входного сопротивления Rвх двухполюсника относительно зажимов ас при закороченных источниках эдс e1 и e2 (рис. 1.36, а).
1.9.3. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно
Р асчёт линейных электрических цепей можно значительно упростить, если заменить в какой-нибудь части их соединения некоторых
элементов треугольником эквивалентной звездой или наоборот.
На рис. 1.16 приведена схема одинарного моста постоянного тока, предназначенного для
измерения сопротивлений.
На этой схеме сопротивления R12, R23 , R24 соединены звездой;
Рис. 1.16 сопротивления R31, R23, R34 также
соединены звездой. Таким образом, соединения звездой образуют три сопротивления (или три ветви, исходящие из одного узла).
Сопротивления R12, R23, R31 образуют соединение треуголь-
ником; сопротивления R23, R24, R34 также соединены в треугольник.
Следовательно, три сопротивления (три ветви), расположенные между тремя узлами, образующими замкнутый контур, называются соединением треугольником.
В схеме (рис. 1.16) нет простейших видов соединений (последовательного или параллельного).
Поэтому эквивалентные преобразования этой схемы без замены треугольника сопротивлений эквивалентной звездой или обратного преобразования (звезды в треугольник) невозможны.
З аменим треугольник сопротивлений R12, R23, R31 эквивалентной звездой R1, R2, R3.
В результате такого преобразования получим эквивалентную схему, представленную на рис. 1.17.
На этой схеме имеет место
последовательное и параллель-
Рис. 1.17 ное соединение сопротивлений.
Поэтому дальнейшие прео-
б разования этой схемы по нахождению эквивалентного сопротивления Rэк весьма просты.
а) б)
Рис. 1.18
Для эквивалентности треугольника сопротивлений R12, R23, R31 (рис. 1.18, а) и звезды сопротивлений R1, R2, R3 (рис. 1.18, б) необходимо и достаточно, чтобы при замене треугольника звездой и обратно токи, а, следовательно, и напряжения в остальной части цепи не изменились, т. е. чтобы результирующее сопротивление между каждой парой точек у обеих схем было одинаковым. Запишем результирующие сопротивления для каждой пары точек треугольника и звезды.
Сопротивление между точками 1-2 треугольника (рис. 1.18, а) R23 и R31 соединены последовательно, а по отношению к R12 эта ветвь включена параллельно, поэтому результирующее (эквивалентное) сопротивление между точками 1-2 треугольника будет иметь вид:
(1.24)
Сопротивление между точками 1-2 звезды (рис. 1.18, б): R1 и R2 соединены последовательно, поэтому эквивалентное сопротивление между точками 1-2 звезды будет равно сумме этих сопротивлений
R1 +R2. (1.25)
Исходя из условия эквивалентности треугольника и звезды, приравняем выражения (1.24) и (1.25):
= R1 +R2. (1.26)
Аналогичные уравнения запишем для точек 2-3 и 3-1:
= R2 +R3. (1.27)
= R1 +R3. (1.28)
Складывая уравнения (1.26) и (1.28) и затем, вычитая (1.27), получим переходную формулу от треугольника к звезде:
R1= . (1.29)
Аналогично получаем выражение для R2 и R3:
R2= ; (1.30)
R3= . (1.31)
Таким образом, сопротивление каждого луча эквивалентной звезды равно произведению сопротивлений двух ветвей треугольника, примыкающих к соответствующему лучу, делённому на сумму сопротивлений всех ветвей треугольника.
Если из формул (1.29) – (1.31) выразить сопротивления R12, R23, R31 через сопротивления R1, R2, R3, то получим формулы преобразования трёхлучевой звезды в эквивалентный треугольник:
;
; (1.32)
;
Далее рассмотрим некоторые примеры по расчёту линейных электрических цепей с одним источником ЭДС методом эквивалентных преобразований.
Пример 1.1. Две электрические лампы номинальным напряжением Uном= 220 В и мощностями Р1ном= 40 Вт и Р2ном= 60 Вт включены последовательно в электрическую цепь, к которой подведено напряжение U = 220 В. Определить потребляемые мощности каждой лампы Р1 , Р2 и напряжения на них U1 , U2. Лампы условно считать линейными элементами.
Р е ш е н и е. 1. Определим сопротивление каждой лампы при номинальном напряжении, предварительно записав формулу мощности через напряжение и сопротивление:
, откуда .
Ом;
Ом.
Изобразим схему включения сопротивлений R1 и R2 (рис. 1.19).
Rэк= R1 + R2= 1210+806,7 = 2016,7 Ом.
А;
U1= IR1 = 0,10911210 = 132 В;
U2 = IR2= 0,1091806,7 = 88 В.
П роверка по второму закону Кирхгофа:
U = U1 + U2 = 132 + 88 = 220 В.
Из расчёта следует, что при последовательном соединении электроламп, напряжение на
Рис. 1.19 каждой из них меньше
номинального напряжения;
причём, чем больше номинальная мощность лампы, тем меньше будет на ней напряжение; обе лампы будут иметь неполный накал.
Мощность, потребляемая лампами:
P1= U1I = 1320,1091 = 14,4 Вт;
P2= U2I = 880,1091= 9,6 Вт.
Мощность источника электроэнергии:
Pи= UI = 2200,1091 = 24 Вт.
Баланс мощностей:
Pи= P1+ P2 =14,4 + 9,6 = 24 Вт.
Наличие баланса мощностей подтверждает правильность решения задачи.
Пример 1.2. Определить в схеме (рис. 1.20) напряжение Uаb, если R1= 20 Ом, R2= 24 Ом, R3= 80 Ом, Е= 120 В.
Р е ш е н и е: Определим эквивалентное сопротивление цепи относительно источника ЭДС. Сопротивления R1 и R3 соединены параллельно, поэтому
Ом;
Сопротивления R13 и R2 соединены последовательно:
R13 + R2= 16+24 = 40 Ом.
Ток второй ветви
3 А.
По второму закону Кирхгофа
Е= Uаb + I2R2, откуда
Uаb= Е I2R2 =120
324 = 120 72 = 48 В.
Пример 1.3. Определить токи во всех ветвях одинарного моста (рис. 1.16), если Е =
= 100 В, R0= 6 Ом, R12 = R31=
Рис. 1.20 = 10 Ом, R24=14 Ом, R34= 24 Ом,
R23= 30 Ом.
Р е ш е н и е. Преобразуем треугольник сопротивлений R12, R23, R31 в эквивалентную звезду R1, R2, R3:
R1= = Ом;
R2= = Ом;
R3= = Ом;
После преобразования треугольника в звезду получим схему с последовательно-параллельным соединением сопротивлений (рис. 1.21, а).
а) б)
Рис. 1.21
Для этой схемы имеем:
RА= R2 + R24 = 6 +14 = 20 Ом;
RВ= R3 + R34= 6 +24 = 30 Ом;
RАВ = Ом.
После выполнения преобразований схема имеет вид (рис. 1.21, б), для которой
Rэк= R1 +RАВ + R0 = 2+12+6 = 20 Ом.
Ток I0 определяем по закону Ома:
I0= А.
Напряжения для схемы (рис.1.21,б):
U1= I0R1 = 52 = 10 В;
UАВ = I0RАВ = 512 = 60 В;
U0 = I0R0 = 56 = 30 В.
Проверка по второму закону Кирхгофа:
Е = U1 +UАВ + U0 = 10+60+30 = 100 В.
Для схемы (рис. 1.21, а):
I1= I0=5 А;
I2 = I24 = А;
I3 = I34 = А.
Проверка по первому закону Кирхгофа:
I1= I2 + I3= 3+2 = 5 А.
Для определения токов I12, I23, I31 схемы (рис. 1.16) найдём напряжения U12 , U23 , U31 между соответствующими узлами. С этой целью задаёмся направлениями этих напряжений (на схеме рис. 1.21, а) указаны пунктирными стрелками) и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров, замыкающихся через искомые напряжения;
контур 0120:
U12 I2R2 I1R1 = 0; U12= I2R2 + I1R1 = 36 + 52 = 18+10 = 28 В;
контур 0230:
U23 I3R3 + I2R2 = 0; U23 = I3R3 I2R2 = 26 36 = 12 18 = 6 В;
контур 0310:
U31 +I1R1 +I3R3 = 0; U31 = I1R1 I3R3 = 52 26 = 1012 =
= 22 В.
Так как напряжения U23 и U31 получились отрицательными, то положительные направления напряжений U32 и U13 противоположны предполагаемым (на схеме рис. 1.21, а обозначены сплошными стрелками).
Положительные направления токов на схеме (рис. 1.16) совпадают с положительными направлениями напряжений на схеме (рис. 1.21, а), а их значения определим по закону Ома:
А;
А;
А.
Мощность, расходуемая в сопротивлениях звезды:
P1= Вт;
P2= Вт;
P3= Вт.
P = P1 + P2 +P3 = 50+54+24 = 128 Вт.
Мощность, расходуемая в сопротивлениях треугольника:
P12 = Вт;
P23 = Вт;
P31 = Вт.
P= P12 + P23 +P31 = 78,4+1,2+48,4 = 128 Вт.
Равенство мощностей P = P подтверждает правильность преобразования треугольника в звезду, т. е. их эквивалентность.
Составим для схемы рис. 1.16 баланс мощностей:
EI0 = P +
EI0 = 1005 = 500 Вт;
P+ = 128+3214+2224+526 =
= 128+126+96+150 = 500 Вт.
Наличие баланса мощностей показывает, что расчёт электрической цепи (рис. 1.16) произведен правильно.