Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
(I-С)
(II-С)
(III-С)
или в векторном виде:
(IV)
В этих уравнениях интегралы берутся вдоль любого участка разрыва. Квадратными скобками мы обозначили разность значений стоящей внутри скобок величины по обе стороны разрыва, например:
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
Из-за произвольности области интегрирования в каждой точке разрыва выполнены соотношения Рэнкина-Гюгонио (условия на ударных волнах):
или в векторном виде:
|
Джон фон Нейман утверждал, что при проектировании расчетных схем |
для |
уравнений газовой динамики надо аппроксимировать не |
дифференциальные уравнения газовой динамики, применимые только в областях, где функции, описывающие течение, - гладкие, а интегральные равенства типа (I-C) – (III-C) или (VIII) .
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
Вместе с интегральными уравнениями для законов сохранения обязательно следует учесть (аппроксимировать) еще и известное в газовой динамике энтропийное неравенство:
(IX)
Соотношение (IX) выражает фундаментальный закон физики – закон неубывания энтропии .
Что касается дифференциальных уравнений газовой динамики, то Дж. фон Нейман предлагал рассчитывать их путем введением в уравнения специального члена с искусственно введенной вязкостью, которая размазывает разрывы при выполнении законов сохранения и условия роста энтропии.
Функции, удовлетворяющие интегральным равенствам и неравенству для энтропии, являются обобщенными решениями уравнений газовой
динамики.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
1.4.Законы сохранения. Интегральная форма в лагранжевых и массовых переменных для одномерного течения газа.
Пусть - лагранжева координата, обозначающая начальное положение
частицы газа, например, в момент |
- положение этой же частицы момент |
времени . Лагранжева координата |
и эйлерова координата , связаны |
соотношением: |
|
(I.4.1)
Напомним, что время в обеих системах координат совпадает: . В (I.4.1) скорость задана как функция лагранжевых переменных. При известной скорости уравнение (I.4.1) определяет траекторию частицы газа.
Очевидно, что масса газа, заключенная в объеме, ограниченном сечениями, и , остается постоянной во времени.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
Поэтому мы можем записать:
,(I.4.2)
где означает плотность в момент времени . Дифференцируя (I.4.2) по переменной , получим:
так как, очевидно, .
Формула (I.4.3) показывает, что
отображение лагранжевых координат
ξ на
|
эйлеровы r взаимно однозначно при |
Лагранж Жозеф Луи |
условии ρ(ξ ,t) ≠0. |
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
В областях, где (область вакуума) точкам не отвечают никакие лагранжевы координаты , так как через эти точки не проходят траектории течения.
Согласно формуле (I.4.1) .
Поэтому из формул и заключаем, что переход от эйлеровых координат к лагранжевым задается соотношением:
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
Получим уравнения для законов сохранения в лагранжевых переменных для всех случаев симметрии (плоской, цилиндрической и сферической) одновременно. При этом будем ориентироваться на уравнения в эйлеровых переменных (I-Б) - (III-Б). Выпишем их еще раз.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
Подстановка формулы в закон сохранения массы (I-Б) превращает его в тождество. Однако из следует интегральное соотношение:
эквивалентное закону сохранения массы, так как оно есть следствие соотношения (I.4.2).
В равенстве (I-L) - это произвольный кусочно-гладкий контур в плоскости переменных ; эйлерова переменная определяется с помощью формулы (I.4.1). Заметим, что равенство (I-L) называют также законом сохранения объема, занятого газом.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
Переходя от эйлеровых переменных к лагранжевым переменным в
уравнении (II-Б), получим уравнение сохранения импульса:
В формуле (II-L) - контур в плоскости переменных ; - ограниченная им область этих переменных.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
Наконец, закон сохранения энергии в переменных Лагранжа имеет вид:
Уравнения (I-L) - (III-L) представляют собой законы сохранения объема, импульса и энергии в переменных Лагранжа.
Законы сохранения в массовых переменных.
Законы сохранения несколько упрощаются, если ввести следующие переменные: (I-L)